Uma partícula está presa a uma mola. No instante t=0, ela está na posição de equilíbrio e a sua velocidade é de 36 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} dirigida para o lado negativo do eixo x. A sua frequência é f=6 \mathrm{~Hz}.
Qual é a amplitude do movimento oscilatório?
(a) 2 / \pi \mathrm{cm}
(b) 3 / \pi \mathrm{cm}
(c) 4 / \pi \mathrm{cm}
(d) 6 / \pi \mathrm{cm}
(e) 8 / \pi \mathrm{cm}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (peguei todos estes números do enunciado):
    • No instante t=0: a partícula está na posição de equilíbrio, ou seja x(0)=0.
    • A velocidade inicial é v(0)=-36\\ \mathrm{cm/s} (o sinal negativo indica direção para o lado negativo do eixo x).
    • A frequência é f=6\\ \mathrm{Hz}.
  • Pergunta: qual é a amplitude do movimento oscilatório? (ou seja, o valor positivo A tal que o movimento é simplesmente harmônico com amplitude A).

Passo 2

Apresentar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (MHS) e definir as variáveis.
  • Uma forma geral conveniente para a posição é
x(t)=A\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (número não negativo que queremos achar),
  • \omega é a frequência angular (em rad/s),
  • \varphi é a fase inicial (em rad).
  • A velocidade é a derivada temporal de x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
  • A relação entre frequência f e frequência angular \omega é
\omega = 2\pi f.
Explicação curta e didática: escolhi a forma com seno porque x(0)=0 costuma ficar cômodo com seno (o cosseno daria outra condição de fase). A amplitude A é sempre tomada não negativa; sinais que apareçam ficam na fase \varphi.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega a partir de f=6\\ \mathrm{Hz}.
Usando \omega=2\pi f,
\omega = 2\pi\cdot 6 = 12\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais nas fórmulas e obter equações para A e \varphi.
  • Da posição em t=0: x(0)=A\sin(\varphi)=0. Então
    \sin(\varphi)=0 \quad\Rightarrow\quad \varphi = 0,\\ \pi,\\\ 2\pi,\\ \dots
    Ou seja, as possibilidades fundamentais para \varphi são 0 ou \pi (os demais são repetidos).
  • Da velocidade em t=0: v(0)=A\omega\cos(\varphi)=-36\\ \mathrm{cm/s}. Substituindo as duas opções de \varphi:
    • Se \varphi=0: \cos(\varphi)=\cos(0)=1, logo
      v(0)=A\omega = -36\quad\Rightarrow\quad A = -\frac{36}{\omega}.
      Isso daria A<0. Mas por definição de amplitude tomamos A\ge 0. Ter A<0 só significaria que escolhemos a fase “errada” em termos de sinal; preferimos ajustar \varphi para obter A>0.
    • Se \varphi=\pi: \cos(\varphi)=\cos(\pi)=-1, logo
      v(0)=A\omega\cdot(-1)=-A\omega = -36\quad\Rightarrow\quad A\omega = 36.
      Desta equação obtemos A positivo, que é a amplitude física que queremos.
Comentário didático: fisicamente, começar em x=0 com velocidade máxima em módulo faz sentido — na passagem pela posição de equilíbrio a velocidade é máxima. Aqui o módulo da velocidade inicial é 36\\ \mathrm{cm/s}, então este módulo deve ser igual a A\omega. O sinal negativo só indica a direção (movendo-se para negativo), e isso força a escolha \varphi=\pi de modo que \cos(\varphi)=-1.

Passo 5

Calcular a amplitude numérica usando A\omega = 36 e \omega=12\pi.
A = \frac{36}{\omega} = \frac{36}{12\pi} = \frac{3}{\pi}\\ \mathrm{cm}.
Verificação rápida e intuitiva: o valor máximo da velocidade no MHS é A\omega. Com A=3/\pi\\ \mathrm{cm} e \omega=12\pi\\ \mathrm{rad/s} obtemos A\omega = (3/\pi)\cdot(12\pi)=36\\ \mathrm{cm/s}, que coincide com o módulo da velocidade dada — perfeito.

Resposta

(b) \dfrac{3}{\pi}\\ \mathrm{cm}

Exercícios relacionados