Uma partícula está presa a uma mola. No instante
, ela está na posição de equilíbrio e a sua velocidade é de
dirigida para o lado negativo do eixo
. A sua frequência é
.
Qual é a amplitude do movimento oscilatório?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Qual é a amplitude do movimento oscilatório?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado (peguei todos estes números do enunciado):
- No instante
: a partícula está na posição de equilíbrio, ou seja . - A velocidade inicial é
(o sinal negativo indica direção para o lado negativo do eixo ). - A frequência é
.
- No instante
- Pergunta: qual é a amplitude do movimento oscilatório? (ou seja, o valor positivo
tal que o movimento é simplesmente harmônico com amplitude ).
Passo 2
Apresentar as fórmulas básicas do movimento harmônico simples (MHS) e definir as variáveis.
- Uma forma geral conveniente para a posição é
onde:
-
é a amplitude (número não negativo que queremos achar), -
é a frequência angular (em rad/s), -
é a fase inicial (em rad). - A velocidade é a derivada temporal de
:
- A relação entre frequência
e frequência angular é
Explicação curta e didática: escolhi a forma com seno porque
costuma ficar cômodo com seno (o cosseno daria outra condição de fase). A amplitude
é sempre tomada não negativa; sinais que apareçam ficam na fase
.
Passo 3
Calcular a frequência angular
a partir de
.
Usando
,
Passo 4
Aplicar as condições iniciais nas fórmulas e obter equações para
e
.
-
Da posição em
: . Então Ou seja, as possibilidades fundamentais parasão ou (os demais são repetidos). -
Da velocidade em
: . Substituindo as duas opções de : -
Se
: , logo Isso daria. Mas por definição de amplitude tomamos . Ter só significaria que escolhemos a fase “errada” em termos de sinal; preferimos ajustar para obter . -
Se
: , logo Desta equação obtemospositivo, que é a amplitude física que queremos.
-
Comentário didático: fisicamente, começar em
com velocidade máxima em módulo faz sentido — na passagem pela posição de equilíbrio a velocidade é máxima. Aqui o módulo da velocidade inicial é
, então este módulo deve ser igual a
. O sinal negativo só indica a direção (movendo-se para negativo), e isso força a escolha
de modo que
.
Passo 5
Calcular a amplitude numérica usando
e
.
Verificação rápida e intuitiva: o valor máximo da velocidade no MHS é
. Com
e
obtemos
, que coincide com o módulo da velocidade dada — perfeito.
Resposta
(b)