7.31 Dois filamentos semi-infinitos no eixo
posicionam-se nas regiões
e
. Em cada um circula uma corrente
na direção
. (a) Calcule
como uma função de
e
em
. (b) Qual valor de
resultará em uma intensidade de
em
, igual à metade do valor obtido para um filamento infinito?
Passo 1
O enunciado dá duas hastes filiformes (filamentos) posicionadas ao longo do eixo
nas regiões
e
. Em cada uma delas circula uma corrente de intensidade
na direção
(para cima). Precisa-se:
- (a) Calcular
como função de e no plano . - (b) Encontrar o valor de
tal que a intensidade de em seja igual à metade do valor obtido para um filamento infinito (isto é, metade de avaliado em ).
Informações relevantes do enunciado que eu vou usar: as hastes estão sobre o eixo
; há um espaço (um trecho
) onde não há corrente; ambas as correntes têm mesma direção (
); o ponto de observação está no plano
e pode ter coordenadas cilíndricas
.
Passo 2
Ferramenta principal (aula rápida): Biot–Savart e fórmula conhecida para fio reto.
- A lei de Biot–Savart diz que um elemento de corrente
produz, num ponto de espaço, um campo magnético dado por
onde
é o vetor do elemento até o ponto e
é o versor correspondente. O campo
é
no vácuo, portanto a constante
some se trabalharmos com
(aparece como divisor), e a expressão fica com o fator
.
- Para um fio retilíneo e fino, paralelo ao eixo
, com corrente na direção , avaliado num ponto de coordenadas cilíndricas , o campo é tangencial (direção ) e a contribuição de um segmento do fio que vai de até é (fórmula padrão obtida pela integração do Biot–Savart)
Explicando as variáveis:
é a distância radial do ponto ao eixo
;
é a coordenada
do ponto de observação;
são as coordenadas
dos extremos do segmento;
é o versor azimutal (obtido pela regra da mão direita para corrente +z).
Observação: quando um extremo vai para
o termo
. Quando vai para
o correspondente tende a
. Para um fio infinito de
a
a expressão dá
, conforme já conhecido.
Passo 3
Aplicando essa fórmula ao primeiro filamento, que vai de
até
, e avaliando no plano
:
- Aqui
e . Então o termo com tende a e o termo com é . Assim a contribuição desse filamento é
Passo 4
Agora o segundo filamento, que vai de
até
, com corrente na mesma direção
. Na fórmula temos
e
, com
. Então:
- O termo com
tende a . - O termo com
é .
Substituindo na expressão:
Note que as duas contribuições têm o mesmo valor e a mesma direção
.
Passo 5
Somando as contribuições dos dois filamentos (superposição linear dos campos):
Simplificando o fator
,
Comentário didático: essa expressão faz sentido nos limites conhecidos: se
(os dois semi-infinitos se juntam formando um fio infinito) temos
e
(fio infinito). Se
(os fios muito afastados do plano
) o termo
e
, também razoável.
Passo 6
Parte (b): queremos
tal que, em
, a intensidade de
seja metade da intensidade de um filamento infinito. A intensidade de um filamento infinito em
é
Metade disso é
.
Usando a expressão encontrada em
:
Queremos
. Portanto:
Cancelar
dos dois lados:
Passo 7
Resolver a equação para
:
- Isolar o termo:
- Elevar ao quadrado ambos os lados:
- Multiplicar ambos os lados por
:
- Expandir e rearranjar:
- Calcular:
-
é uma distância positiva, logo