7.31 Dois filamentos semi-infinitos no eixo z posicionam-se nas regiões -\infty <z<-a e a<z<\infty. Em cada um circula uma corrente I na direção \mathbf{a}_{z}. (a) Calcule \mathbf{H} como uma função de \rho e \varphi em z=0. (b) Qual valor de a resultará em uma intensidade de \mathbf{H} em \rho=1, z=0, igual à metade do valor obtido para um filamento infinito?

Passo 1

O enunciado dá duas hastes filiformes (filamentos) posicionadas ao longo do eixo z nas regiões -\infty<z<-a e a<z<\infty. Em cada uma delas circula uma corrente de intensidade I na direção \mathbf{a}_z (para cima). Precisa-se:
  1. (a) Calcular \mathbf{H} como função de \rho e \varphi no plano z=0.
  2. (b) Encontrar o valor de a tal que a intensidade de \mathbf{H} em \rho=1,\;z=0 seja igual à metade do valor obtido para um filamento infinito (isto é, metade de I/(2\pi\rho) avaliado em \rho=1).
Informações relevantes do enunciado que eu vou usar: as hastes estão sobre o eixo z; há um espaço (um trecho -a<z<a) onde não há corrente; ambas as correntes têm mesma direção ( +\mathbf{a}_z); o ponto de observação está no plano z=0 e pode ter coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,0).

Passo 2

Ferramenta principal (aula rápida): Biot–Savart e fórmula conhecida para fio reto.
  • A lei de Biot–Savart diz que um elemento de corrente I\,d\mathbf{l} produz, num ponto de espaço, um campo magnético \mathbf{B} dado por
d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\mathbf{l}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2},
onde \mathbf{r} é o vetor do elemento até o ponto e \hat{\mathbf{r}} é o versor correspondente. O campo \mathbf{H} é \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0 no vácuo, portanto a constante \mu_0 some se trabalharmos com \mathbf{H} (aparece como divisor), e a expressão fica com o fator 1/(4\pi).
  • Para um fio retilíneo e fino, paralelo ao eixo z, com corrente na direção +\mathbf{a}_z, avaliado num ponto de coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z_0), o campo é tangencial (direção \mathbf{a}_\varphi) e a contribuição de um segmento do fio que vai de z=z_1 até z=z_2 é (fórmula padrão obtida pela integração do Biot–Savart)
\mathbf{H}_{\text{segmento}} = \frac{I}{4\pi\rho}\left(\frac{z_2-z_0}{\sqrt{\rho^2+(z_2-z_0)^2}}-\frac{z_1-z_0}{\sqrt{\rho^2+(z_1-z_0)^2}}\right)\mathbf{a}_\varphi.
Explicando as variáveis: \rho é a distância radial do ponto ao eixo z; z_0 é a coordenada z do ponto de observação; z_1,z_2 são as coordenadas z dos extremos do segmento; \mathbf{a}_\varphi é o versor azimutal (obtido pela regra da mão direita para corrente +z).
Observação: quando um extremo vai para +\infty o termo \dfrac{z_2-z_0}{\sqrt{\rho^2+(z_2-z_0)^2}}\to 1. Quando vai para -\infty o correspondente tende a -1. Para um fio infinito de -\infty a +\infty a expressão dá \dfrac{I}{2\pi\rho}, conforme já conhecido.

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao primeiro filamento, que vai de z=a até z\to+\infty, e avaliando no plano z_0=0:
  • Aqui z_1=a e z_2\to+\infty. Então o termo com z_2 tende a 1 e o termo com z_1 é \dfrac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}. Assim a contribuição desse filamento é
\mathbf{H}_{a\to\infty} = \frac{I}{4\pi\rho}\left(1-\frac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}\right)\mathbf{a}_\varphi.

Passo 4

Agora o segundo filamento, que vai de z\to-\infty até z=-a, com corrente na mesma direção +\mathbf{a}_z. Na fórmula temos z_1\to-\infty e z_2=-a, com z_0=0. Então:
  • O termo com z_1\to-\infty tende a -1.
  • O termo com z_2=-a é \dfrac{-a}{\sqrt{\rho^2+a^2}} = -\dfrac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}.
Substituindo na expressão:
\mathbf{H}_{-\infty\to -a} = \frac{I}{4\pi\rho}\left(\frac{-a}{\sqrt{\rho^2+a^2}} - (-1)\right)\mathbf{a}_\varphi = \frac{I}{4\pi\rho}\left(1-\frac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}\right)\mathbf{a}_\varphi.
Note que as duas contribuições têm o mesmo valor e a mesma direção \mathbf{a}_\varphi.

Passo 5

Somando as contribuições dos dois filamentos (superposição linear dos campos):
\mathbf{H}(\rho,\varphi,z=0) = \mathbf{H}_{a\to\infty}+\mathbf{H}_{-\infty\to -a} = 2\cdot\frac{I}{4\pi\rho}\left(1-\frac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}\right)\mathbf{a}_\varphi.
Simplificando o fator 2/(4\pi)=1/(2\pi),
\boxed{\mathbf{H}(\rho,\varphi,z=0)=\frac{I}{2\pi\rho}\left(1-\frac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}\right)\mathbf{a}_\varphi.}
Comentário didático: essa expressão faz sentido nos limites conhecidos: se a\to0 (os dois semi-infinitos se juntam formando um fio infinito) temos \dfrac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}\to0 e \mathbf{H}\to \dfrac{I}{2\pi\rho}\mathbf{a}_\varphi (fio infinito). Se a\to\infty (os fios muito afastados do plano z=0) o termo \dfrac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}\to 1 e \mathbf{H}\to 0, também razoável.

Passo 6

Parte (b): queremos a tal que, em \rho=1,\;z=0, a intensidade de \mathbf{H} seja metade da intensidade de um filamento infinito. A intensidade de um filamento infinito em \rho=1 é
H_{\infty}=\frac{I}{2\pi\cdot 1}=\frac{I}{2\pi}.
Metade disso é \dfrac{I}{4\pi}.
Usando a expressão encontrada em \rho=1:
H(\rho=1)=\frac{I}{2\pi\cdot 1}\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\right) =\frac{I}{2\pi}\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\right).
Queremos H(\rho=1)=\dfrac{H_\infty}{2}=\dfrac{I}{4\pi}. Portanto:
\frac{I}{2\pi}\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\right)=\frac{I}{4\pi}.
Cancelar I/(2\pi) dos dois lados:
1-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Resolver a equação para a:
  1. Isolar o termo:
\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  1. Elevar ao quadrado ambos os lados:
\frac{a^2}{1+a^2}=\frac{1}{4}.
  1. Multiplicar ambos os lados por 1+a^2:
a^2=\frac{1}{4}(1+a^2).
  1. Expandir e rearranjar:
a^2=\frac{1}{4}+\frac{a^2}{4}\quad\Rightarrow\quad a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{1}{4}.
  1. Calcular:
\frac{3a^2}{4}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad 3a^2=1\quad\Rightarrow\quad a^2=\frac{1}{3}.
  1. a é uma distância positiva, logo
\boxed{a=\frac{1}{\sqrt{3}}.}

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}(\rho,\varphi,z=0)=\frac{I}{2\pi\rho}\Big(1-\frac{a}{\sqrt{\rho^2+a^2}}\Big)\,\mathbf{a}_\varphi.
\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{3}}.

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