Um núcleo em um estado excitado irá retornar ao seu estado fundamental, emitindo um raio gama durante o processo. Se a sua vida média é de 8,7 \mathrm{ps} em um determinado estado excitado com uma energia de 1,32 \mathrm{MeV}, determine a incerteza na energia do fóton de raio gama emitido.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a incerteza na energia do fóton de raio gama emitido quando um núcleo em estado excitado tem vida média \tau = 8{,}7\\ \mathrm{ps} e energia do estado excitado 1{,}32\\ \mathrm{MeV}. Dados relevantes:
\tau = 8{,}7\\ \mathrm{ps}=8{,}7\times10^{-12}\\ \mathrm{s},
E_{\text{exc}}=1{,}32\\ \mathrm{MeV}.
Queremos \Delta E, a incerteza (largura natural) da energia do fóton emitido.

Passo 2

Qual é a relação entre vida média e incerteza de energia? Vou explicar de um jeito tranquilo: um estado instável que decai exponencialmente no tempo tem sua frequência/energia associada com uma “largura” na distribuição de energia — isso é a largura natural da linha espectral. O resultado, que vem de fazer a transformada de Fourier da função de decaimento exponencial, dá a relação
\Gamma = \frac{\hbar}{\tau},
onde:
  • \Gamma é a largura de linha (a incerteza característica de energia que queremos, normalmente chamada de “width” ou \Delta E),
  • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar = \dfrac{h}{2\pi}),
  • \tau é a vida média do estado (tempo característico do decaimento).
    Observação didática: essa igualdade é a forma natural usada em física nuclear/atômica para a largura natural (é compatível com a interpretação de incerteza tempo-energia para um decaimento exponencial). Não usei aqui somente \Delta E\,\Delta t \ge \hbar/2 porque a conexão quantitativa precisa para uma decaimento exponencial resulta exatamente em \Gamma=\hbar/\tau.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula. É mais prático usar \hbar em unidades de \mathrm{eV\cdot s}:
\hbar = 6{,}582119569\times10^{-16}\\ \mathrm{eV\cdot s}.
Usando \Gamma=\hbar/\tau com \tau = 8{,}7\times10^{-12}\\ \mathrm{s},
\Delta E = \Gamma = \frac{6{,}582119569\times10^{-16}}{8{,}7\times10^{-12}}\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Faço a divisão passo a passo:
\frac{6{,}582119569}{8{,}7}\approx 0{,}7563
e o fator de potências de 10 dá
10^{-16}/10^{-12}=10^{-4}.
Portanto
\Delta E \approx 0{,}7563\times10^{-4}\\ \mathrm{eV}=7{,}56\times10^{-5}\\ \mathrm{eV}.
Como a vida média foi dada com duas casas significativas ( 8{,}7\\ \mathrm{ps}), arredondo a incerteza para duas casas significativas:
\Delta E \approx 7{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Converto para \mathrm{MeV} (lembrando que 1\\ \mathrm{MeV}=10^{6}\\ \mathrm{eV}):
\Delta E \approx 7{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{eV} = 7{,}6\times10^{-11}\\ \mathrm{MeV}.
Um comentário motivador: a incerteza é absurdamente pequena comparada à energia do nível ( 1{,}32\\ \mathrm{MeV}), então a linha é extremamente estreita — você mal nota essa largura na escala de MeV, mas ela é fisicamente importante em medições de alta resolução.

Resposta

\Delta E \approx 7{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{eV}
\Delta E \approx 7{,}6\times10^{-11}\\ \mathrm{MeV}

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