Um núcleo em um estado excitado irá retornar ao seu estado fundamental, emitindo um raio gama durante o processo. Se a sua vida média é de
em um determinado estado excitado com uma energia de
, determine a incerteza na energia do fóton de raio gama emitido.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a incerteza na energia do fóton de raio gama emitido quando um núcleo em estado excitado tem vida média
e energia do estado excitado
. Dados relevantes:
Queremos
, a incerteza (largura natural) da energia do fóton emitido.
Passo 2
Qual é a relação entre vida média e incerteza de energia? Vou explicar de um jeito tranquilo: um estado instável que decai exponencialmente no tempo tem sua frequência/energia associada com uma “largura” na distribuição de energia — isso é a largura natural da linha espectral. O resultado, que vem de fazer a transformada de Fourier da função de decaimento exponencial, dá a relação
onde:
-
é a largura de linha (a incerteza característica de energia que queremos, normalmente chamada de “width” ou ), -
é a constante de Planck reduzida ( ), -
é a vida média do estado (tempo característico do decaimento).
Observação didática: essa igualdade é a forma natural usada em física nuclear/atômica para a largura natural (é compatível com a interpretação de incerteza tempo-energia para um decaimento exponencial). Não usei aqui somenteporque a conexão quantitativa precisa para uma decaimento exponencial resulta exatamente em .
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula. É mais prático usar
em unidades de
:
Usando
com
,
Passo 4
Faço a divisão passo a passo:
e o fator de potências de 10 dá
Portanto
Como a vida média foi dada com duas casas significativas (
), arredondo a incerteza para duas casas significativas:
Passo 5
Converto para
(lembrando que
):
Um comentário motivador: a incerteza é absurdamente pequena comparada à energia do nível (
), então a linha é extremamente estreita — você mal nota essa largura na escala de MeV, mas ela é fisicamente importante em medições de alta resolução.