Uma autofunção de energia representa um estado estacionário da partícula se:
(i)
tende a zero em
(ii)
*
é constante no tempo
(iii)
pode ser normalizada
Passo 1
O enunciado pergunta: quais das afirmativas (i), (ii) e (iii) são condições para que uma autofunção de energia represente um estado estacionário da partícula? Vou listar as três afirmativas exatamente como dadas:
- (i)
tende a zero em . - (ii)
é constante no tempo. - (iii)
pode ser normalizada.
As informações fornecidas são apenas essas três frases; a tarefa é decidir quais são verdadeiras, quais são necessárias, e explicar por quê.
Passo 2
Lembra do que é uma autofunção de energia (autofunção do Hamiltoniano)? Escrevemos a equação própria do Hamiltoniano (autovalores):
Aqui
é o operador Hamiltoniano (por exemplo
),
é a parte espacial da autofunção e
é o autovalor de energia. Uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo que corresponde a essa autofunção é obtida multiplicando por um fator de fase temporal:
Expliquei o que é cada símbolo:
é a função de onda completa dependente de
e
,
é a solução espacial,
é a energia,
é a constante de Planck reduzida e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora calcule a densidade de probabilidade e veja a dependência temporal. A densidade é
Usando
obtemos
Observe que os fatores exponenciais de fase temporal se cancelam. Conclusão importante: a densidade de probabilidade associada a uma autofunção de energia é independente do tempo. Isso significa que a afirmativa (ii) — "
é constante no tempo" — é uma consequência direta da forma temporal
. Portanto (ii) é verdadeira para autofunções de energia e é, de fato, a definição de estado estacionário (probabilidades imóveis no tempo).
Passo 4
Agora pense na normalização. Para que uma função de onda represente um estado físico (uma partícula com probabilidade total igual a 1), exigimos que ela seja normalizável no sentido quadrático (ou seja, esteja em
). A condição de normalização é
Como
é independente do tempo, a normalização pode ser verificada apenas na parte espacial:
Se
não for normalizável, então
não representa um estado físico normalizado (a menos que se use formalismos de estados generalizados, como estados de espalhamento). Portanto, para representar um estado físico estacionário, é necessário que
possa ser normalizada. Assim a afirmativa (iii) é necessária para um estado estacionário físico (ligado).
Passo 5
E a afirmativa (i) — "
tende a zero em
"? Vamos analisar. Se a função
é normalizável (isto é, pertence a
), então ela deve ir para zero “rápido o suficiente” quando
para que a integral
seja finita; portanto, para estados ligados normais físicos é comum (e quase sempre necessário) que
quando
. Assim para estados ligados normais, (i) é verdadeira.
Por outro lado, existem autofunções de energia que descrevem estados de espalhamento (por exemplo ondas de plano ): essas funções não tendem a zero em
e tampouco são normalizáveis no espaço todo (são distribuidores, usadas em análise de espalhamento). Elas são autofunções do Hamiltoniano com energia bem definida, mas não representam um único estado ligado normalizável. Portanto (i) não é uma condição universal obrigatória para ser autofunção de energia; é uma condição que costuma aparecer quando exigimos ainda que o estado seja um estado ligado normalizável.
Por outro lado, existem autofunções de energia que descrevem estados de espalhamento (por exemplo ondas de plano
Passo 6
Resumo didático e prático para a prova (o que marcar):
- O que define “estado estacionário”: densidade de probabilidade independente do tempo. Derivamos isso diretamente da forma
. Então (ii) é correto e essencial. - Para representar um estado físico aceitável (partícula localizada/estado ligado), precisamos que a função de onda seja normalizável, logo (iii) é necessário para um estado físico estacionário.
- A condição de
em (i) é verdadeira para estados ligados normalizáveis, mas não é uma condição universal para toda autofunção de energia (existem autofunções não normalizáveis, como ondas planas, que não satisfazem (i)). Então (i) não é obrigatória em geral.
Força aí — você consegue decorar essa ideia principal: “autofunção de energia → fase temporal somente → densidade constante no tempo” e lembrar que normalização é requisito para estado físico ligado; a condição no infinito é um subcaso (estados ligados).
Resposta
(ii) e (iii)