Considere um circuito elétrico R-C (resistor e capacitor em série) ligado a uma fonte de tensão constante \mathrm{V}_{0}.
  1. Obtenha as equações diferenciais que descrevem o comportamento da corrente elétrica \mathrm{i}(\mathrm{t}) e da carga no capacitor \mathrm{q}(\mathrm{t}) durante o processo de carregamento e descarregamento do capacitor.
  2. Resolva as equações diferenciais, encontrando as expressões analíticas de i(t) e q(t) em função do tempo.
  3. Plote os gráficos de:
Corrente elétrica i(t) em função do tempo.
Carga no capacitor \mathrm{q}(\mathrm{t}) em função do tempo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Obter as equações diferenciais que descrevem o comportamento da corrente elétrica i(t) e da carga no capacitor q(t) durante o carregamento e durante a descarga num circuito série R C ligado inicialmente a uma fonte de tensão constante \mathrm{V}_{0}.
  2. Resolver essas equações diferenciais e encontrar as expressões analíticas de i(t) e q(t) em função do tempo.
  3. Plotar os gráficos de i(t) e q(t) em função do tempo (isto é, indicar / fornecer como obter os gráficos).
Informações relevantes dadas (ou implicitamente necessárias para formular o problema):
  • Circuito série com resistor R e capacitor C.
  • Fonte de tensão constante de valor \mathrm{V}_{0}.
  • Definições físicas básicas que usaremos: a carga no capacitor está ligada à tensão no capacitor por v_C=\dfrac{q}{C} e a corrente é i(t)=\dfrac{dq}{dt}.
  • Para o processo de carregamento assumimos inicialmente o capacitor descarregado em t=0 (i.e. q(0)=0), salvo indicação contrária. Para descarga assumimos que o capacitor tem carga inicial q(0)=Q_0 e a fonte foi retirada (ou curto-circuitada) de modo que só restam R e C no laço.

Passo 2

Modelagem (carregamento) — escrever a equação diferencial a partir do LKC (lei das malhas / soma das quedas de tensão):
  • No circuito série, somando as quedas de tensão ao longo da malha (tomando sentido da corrente como positivo em i(t)) temos:
\mathrm{V}_{0} = v_R + v_C.
  • Substituindo v_R = iR e v_C = \dfrac{q}{C} e usando i=\dfrac{dq}{dt}, obtemos a equação diferencial do carregamento:
\mathrm{V}_{0} = R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C}.
  • Esta é a equação que descreve q(t) durante o carregamento. A corrente é relacionada por
i(t)=\frac{dq}{dt}.
Não resolvemos ainda, apenas identificamos a ODE.

Passo 3

Resolver a ODE de carregamento — explicando o método passo a passo (método do fator integrante, por ser linear de 1ª ordem):
  • Reescrevemos a ODE em forma padrão:
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}\,q = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}.
Aqui q(t) é a incógnita e os coeficientes \dfrac{1}{RC} e \dfrac{\mathrm{V}_{0}}{R} são constantes. Esta é uma equação linear de primeira ordem da forma \dfrac{dq}{dt}+p\,q = g com p=\dfrac{1}{RC} e g=\dfrac{\mathrm{V}_{0}}{R}.
  • O fator integrante \mu(t) é definido por \mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{t/(RC)}.
  • Multiplicamos a equação por \mu(t):
e^{t/(RC)}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}e^{t/(RC)} q = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}e^{t/(RC)}.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\!\left(e^{t/(RC)} q\right). Então:
\frac{d}{dt}\!\left(e^{t/(RC)} q\right) = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}e^{t/(RC)}.
  • Integramos em t de 0 até t. Integração direta:
e^{t/(RC)} q(t) - e^{0} q(0) = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\int_{0}^{t} e^{s/(RC)}\,ds.
  • Avaliando a integral do lado direito:
\int_{0}^{t} e^{s/(RC)}\,ds = RC\left(e^{t/(RC)} - 1\right).
  • Assim:
e^{t/(RC)} q(t) - q(0) = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,RC\left(e^{t/(RC)} - 1\right).
  • Simplificando \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,RC = \mathrm{V}_{0}C e assumindo a condição inicial usual do carregamento q(0)=0, obtemos:
e^{t/(RC)} q(t) = \mathrm{V}_{0}C\left(e^{t/(RC)} - 1\right).
  • Dividindo por e^{t/(RC)}:
q(t) = \mathrm{V}_{0}C\left(1 - e^{-t/(RC)}\right).
  • A corrente é i(t)=\dfrac{dq}{dt}. Derivando q(t) (mostro a derivada passo a passo):
\frac{dq}{dt} = \mathrm{V}_{0}C\cdot\frac{d}{dt}\left(1 - e^{-t/(RC)}\right) = \mathrm{V}_{0}C\cdot\left(0 - \left(-\frac{1}{RC}\right)e^{-t/(RC)}\right).
  • Simplificando o produto \mathrm{V}_{0}C\cdot\frac{1}{RC} = \dfrac{\mathrm{V}_{0}}{R}, obtemos:
i(t)=\frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}.
  • Verificações físicas rápidas (importante para a prova): em t=0, q(0)=0 e i(0)=\dfrac{\mathrm{V}_{0}}{R} (corrente máxima instantânea). Quando t\to\infty, q(\infty)=\mathrm{V}_{0}C (capacitor carregado) e i(\infty)=0.

Passo 4

Modelagem (descarregamento) — obter a ODE do processo de descarga:
  • Num circuito de descarga o gerador foi removido do laço (ou curto-circuitado), então a soma das quedas de tensão ao redor do laço fechado é zero:
0 = v_R + v_C.
  • Substituindo v_R = iR, v_C=\dfrac{q}{C} e i=\dfrac{dq}{dt}, obtemos:
0 = R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C}.
  • Esta é a equação diferencial do descarregamento:
R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0.
  • Novamente i(t)=\dfrac{dq}{dt}.

Passo 5

Resolver a ODE de descarga — método direto (equação separável/linear com coeficiente constante):
  • Reescrevendo:
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}q = 0.
  • Esta é uma ODE homogênea linear de primeira ordem; pode ser resolvida por separação:
\frac{dq}{q} = -\frac{dt}{RC}.
  • Integrando de 0 a t (ou de q(0)=Q_0 a q(t)):
\ln\!\left(\frac{q(t)}{Q_0}\right) = -\frac{t}{RC},
onde Q_0 é a carga inicial no capacitor em t=0.
  • Exponenciando:
q(t) = Q_0\,e^{-t/(RC)}.
  • Se o capacitor estava totalmente carregado antes da descarga por uma fonte \mathrm{V}_0, então Q_0=\mathrm{V}_0 C e
q(t) = \mathrm{V}_0 C\,e^{-t/(RC)}.
  • A corrente é a derivada:
i(t)=\frac{dq}{dt} = -\frac{Q_0}{RC}\,e^{-t/(RC)}.
  • Substituindo Q_0=\mathrm{V}_0 C (caso o capacitor iniciava com a carga correspondente a \mathrm{V}_0):
i(t) = -\frac{\mathrm{V}_0}{R}\,e^{-t/(RC)}.
  • Observação física: o sinal negativo indica que a corrente tem sentido oposto ao adotado positivamente quando o capacitor descarrega.

Passo 6

Interpretação e constante de tempo — conceito útil para a prova:
  • Definimos a constante de tempo do circuito:
\tau = RC.
  • As soluções exibem comportamento exponencial com escala de tempo \tau:
    • Carregamento: q(t)=\mathrm{V}_0 C\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr) e i(t)=\dfrac{\mathrm{V}_0}{R}e^{-t/\tau}.
    • Descarregamento: q(t)=Q_0 e^{-t/\tau} e i(t)=-\dfrac{Q_0}{RC}e^{-t/\tau}.
  • Interpretações rápidas:
    • Em t=\tau o capacitor alcança cerca de 63{,}2\% da carga final no carregamento, pois 1-e^{-1}\approx0{,}632.
    • Em t=5\tau a aproximação prática é que o processo está essencialmente completo (mais de 99\%).

Passo 7

Como obter os gráficos (instruções e código de exemplo):
Abaixo segue um código Python (matplotlib + numpy) que gera os dois gráficos pedidos (corrente e carga) tanto para carregamento quanto para descarga. Troque \mathrm{V}_{0}, R e C pelos valores do seu problema; o código usa \tau=RC para escalamento de tempo.
Código de exemplo (copie e execute em um notebook ou script Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros (mude conforme quiser)
V0 = 5.0        # volts
R  = 1e3        # ohms
C  = 1e-6       # farads
tau = R*C

# tempo
t = np.linspace(0, 5*tau, 500)  # 0 a 5 tau

# Carregamento (assume q(0)=0)
q_charge = V0*C*(1 - np.exp(-t/tau))
i_charge = (V0/R) * np.exp(-t/tau)

# Descarregamento (assume q(0)=Q0 = V0*C)
q_discharge = V0*C * np.exp(-t/tau)
i_discharge = - (V0/R) * np.exp(-t/tau)

# Plot
fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(10,6))

axs[0,0].plot(t, i_charge, label='i(t) carregamento')
axs[0,0].set_title('Corrente i(t) — carregamento')
axs[0,0].set_xlabel('t (s)'); axs[0,0].set_ylabel('i (A)')
axs[0,0].grid(True)

axs[1,0].plot(t, q_charge, label='q(t) carregamento', color='C1')
axs[1,0].set_title('Carga q(t) — carregamento')
axs[1,0].set_xlabel('t (s)'); axs[1,0].set_ylabel('q \text{(C)}')
axs[1,0].grid(True)

axs[0,1].plot(t, i_discharge, label='i(t) descarga', color='C2')
axs[0,1].set_title('Corrente i(t) — descarga')
axs[0,1].set_xlabel('t (s)'); axs[0,1].set_ylabel('i (A)')
axs[0,1].grid(True)

axs[1,1].plot(t, q_discharge, label='q(t) descarga', color='C3')
axs[1,1].set_title('Carga q(t) — descarga')
axs[1,1].set_xlabel('t (s)'); axs[1,1].set_ylabel('q \text{(C)}')
axs[1,1].grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()
Explicação do que os gráficos mostram:
  • Para o carregamento a corrente parte de i(0)=\dfrac{\mathrm{V}_0}{R} e decai exponencialmente a zero, enquanto a carga cresce exponencialmente até \mathrm{V}_0 C.
  • Para a descarga a carga decai exponencialmente a partir de Q_0 e a corrente é igual em módulo à do carregamento, porém com sinal negativo (corrente no sentido oposto).

Resposta

Carregamento: \mathrm{V}_{0}=R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C},\qquad i(t)=\frac{dq}{dt}.
Descarregamento: 0=R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C},\qquad i(t)=\frac{dq}{dt}.
Carregamento (soluções): q(t)=\mathrm{V}_{0}C\Bigl(1-e^{-t/(RC)}\Bigr),\qquad i(t)=\frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}.
Descarregamento (soluções, q(0)=Q_0): q(t)=Q_0\,e^{-t/(RC)},\qquad i(t)=-\frac{Q_0}{RC}\,e^{-t/(RC)}.
Gráficos: gere i(t) e q(t) a partir das expressões acima (por exemplo usando o código Python fornecido nos passos) — os perfis são exponenciais com constante de tempo \tau=RC: corrente decai como e^{-t/\tau} e carga aproxima-se de \mathrm{V}_0 C no carregamento ou decai como e^{-t/\tau} na descarga.

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