Considere um circuito elétrico R-C (resistor e capacitor em série) ligado a uma fonte de tensão constante
.
- Obtenha as equações diferenciais que descrevem o comportamento da corrente elétrica
e da carga no capacitor
durante o processo de carregamento e descarregamento do capacitor.
- Resolva as equações diferenciais, encontrando as expressões analíticas de
e
em função do tempo.
- Plote os gráficos de:
Corrente elétrica
em função do tempo.
Carga no capacitor
em função do tempo.
Carga no capacitor
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Obter as equações diferenciais que descrevem o comportamento da corrente elétrica
e da carga no capacitor durante o carregamento e durante a descarga num circuito série – ligado inicialmente a uma fonte de tensão constante . - Resolver essas equações diferenciais e encontrar as expressões analíticas de
e em função do tempo. - Plotar os gráficos de
e em função do tempo (isto é, indicar / fornecer como obter os gráficos).
Informações relevantes dadas (ou implicitamente necessárias para formular o problema):
- Circuito série com resistor
e capacitor . - Fonte de tensão constante de valor
. - Definições físicas básicas que usaremos: a carga no capacitor está ligada à tensão no capacitor por
e a corrente é . - Para o processo de carregamento assumimos inicialmente o capacitor descarregado em
(i.e. ), salvo indicação contrária. Para descarga assumimos que o capacitor tem carga inicial e a fonte foi retirada (ou curto-circuitada) de modo que só restam e no laço.
Passo 2
Modelagem (carregamento) — escrever a equação diferencial a partir do LKC (lei das malhas / soma das quedas de tensão):
- No circuito série, somando as quedas de tensão ao longo da malha (tomando sentido da corrente como positivo em
) temos:
- Substituindo
e e usando , obtemos a equação diferencial do carregamento:
- Esta é a equação que descreve
durante o carregamento. A corrente é relacionada por
Não resolvemos ainda, apenas identificamos a ODE.
Passo 3
Resolver a ODE de carregamento — explicando o método passo a passo (método do fator integrante, por ser linear de 1ª ordem):
- Reescrevemos a ODE em forma padrão:
Aqui
é a incógnita e os coeficientes
e
são constantes. Esta é uma equação linear de primeira ordem da forma
com
e
.
- O fator integrante
é definido por . - Multiplicamos a equação por
:
- O lado esquerdo é a derivada do produto
. Então:
- Integramos em
de até . Integração direta:
- Avaliando a integral do lado direito:
- Assim:
- Simplificando
e assumindo a condição inicial usual do carregamento , obtemos:
- Dividindo por
:
- A corrente é
. Derivando (mostro a derivada passo a passo):
- Simplificando o produto
, obtemos:
- Verificações físicas rápidas (importante para a prova): em
, e (corrente máxima instantânea). Quando , (capacitor carregado) e .
Passo 4
Modelagem (descarregamento) — obter a ODE do processo de descarga:
- Num circuito de descarga o gerador foi removido do laço (ou curto-circuitado), então a soma das quedas de tensão ao redor do laço fechado é zero:
- Substituindo
, e , obtemos:
- Esta é a equação diferencial do descarregamento:
- Novamente
.
Passo 5
Resolver a ODE de descarga — método direto (equação separável/linear com coeficiente constante):
- Reescrevendo:
- Esta é uma ODE homogênea linear de primeira ordem; pode ser resolvida por separação:
- Integrando de
a (ou de a ):
onde
é a carga inicial no capacitor em
.
- Exponenciando:
- Se o capacitor estava totalmente carregado antes da descarga por uma fonte
, então e
- A corrente é a derivada:
- Substituindo
(caso o capacitor iniciava com a carga correspondente a ):
- Observação física: o sinal negativo indica que a corrente tem sentido oposto ao adotado positivamente quando o capacitor descarrega.
Passo 6
Interpretação e constante de tempo — conceito útil para a prova:
- Definimos a constante de tempo do circuito:
- As soluções exibem comportamento exponencial com escala de tempo
: - Carregamento:
e . - Descarregamento:
e .
- Carregamento:
- Interpretações rápidas:
- Em
o capacitor alcança cerca de da carga final no carregamento, pois . - Em
a aproximação prática é que o processo está essencialmente completo (mais de ).
- Em
Passo 7
Como obter os gráficos (instruções e código de exemplo):
Abaixo segue um código Python (matplotlib + numpy) que gera os dois gráficos pedidos (corrente e carga) tanto para carregamento quanto para descarga. Troque ,
e
pelos valores do seu problema; o código usa
para escalamento de tempo.
Abaixo segue um código Python (matplotlib + numpy) que gera os dois gráficos pedidos (corrente e carga) tanto para carregamento quanto para descarga. Troque
Código de exemplo (copie e execute em um notebook ou script Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parâmetros (mude conforme quiser)
V0 = 5.0 # volts
R = 1e3 # ohms
C = 1e-6 # farads
tau = R*C
# tempo
t = np.linspace(0, 5*tau, 500) # 0 a 5 tau
# Carregamento (assume q(0)=0)
q_charge = V0*C*(1 - np.exp(-t/tau))
i_charge = (V0/R) * np.exp(-t/tau)
# Descarregamento (assume q(0)=Q0 = V0*C)
q_discharge = V0*C * np.exp(-t/tau)
i_discharge = - (V0/R) * np.exp(-t/tau)
# Plot
fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(10,6))
axs[0,0].plot(t, i_charge, label='i(t) carregamento')
axs[0,0].set_title('Corrente i(t) — carregamento')
axs[0,0].set_xlabel('t (s)'); axs[0,0].set_ylabel('i (A)')
axs[0,0].grid(True)
axs[1,0].plot(t, q_charge, label='q(t) carregamento', color='C1')
axs[1,0].set_title('Carga q(t) — carregamento')
axs[1,0].set_xlabel('t (s)'); axs[1,0].set_ylabel('q \text{(C)}')
axs[1,0].grid(True)
axs[0,1].plot(t, i_discharge, label='i(t) descarga', color='C2')
axs[0,1].set_title('Corrente i(t) — descarga')
axs[0,1].set_xlabel('t (s)'); axs[0,1].set_ylabel('i (A)')
axs[0,1].grid(True)
axs[1,1].plot(t, q_discharge, label='q(t) descarga', color='C3')
axs[1,1].set_title('Carga q(t) — descarga')
axs[1,1].set_xlabel('t (s)'); axs[1,1].set_ylabel('q \text{(C)}')
axs[1,1].grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
Explicação do que os gráficos mostram:
- Para o carregamento a corrente parte de
e decai exponencialmente a zero, enquanto a carga cresce exponencialmente até . - Para a descarga a carga decai exponencialmente a partir de
e a corrente é igual em módulo à do carregamento, porém com sinal negativo (corrente no sentido oposto).
Resposta
Carregamento:
Descarregamento:
Carregamento (soluções):
Descarregamento (soluções,
):
Gráficos: gere
e
a partir das expressões acima (por exemplo usando o código Python fornecido nos passos) — os perfis são exponenciais com constante de tempo
: corrente decai como
e carga aproxima-se de
no carregamento ou decai como
na descarga.