31. \int \sin (9 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de \sin(9x). O conteúdo principal aqui é a regra de substituição em integrais: quando temos uma função composta \sin(9x), fazemos u=9x para simplificar.

Passo 2

Seja
u = 9x.
Então
du = 9\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{1}{9}\,du.
Substituindo na integral original,
\int \sin(9x)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{1}{9}\,du = \frac{1}{9}\int \sin(u)\,du.

Passo 3

Sabendo que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C,
temos
\frac{1}{9}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{9}\cos(u)+C.
Voltando à variável x (ou seja, u=9x),
-\frac{1}{9}\cos(9x)+C.

Resposta

-\frac{1}{9}\cos(9x) + C

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