Use o método de integração por partes para resolver as seguintes integrais
55. \int \ln (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \ln(5x)\,dx
usando o método de integração por partes. Nesse método, usamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
devendo escolher funções u e dv de modo a simplificar a integral resultante.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(5x), \quad dv = dx.
Então precisamos de du e de v.

Passo 3

Derivando u e integrando dv, obtemos
du = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(5x)\bigr)\,dx = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes,
\int \ln(5x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\ln(5x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(5x) - \int 1\,dx = x\ln(5x) - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \ln(5x)\,dx = x\ln(5x) - x + C.

Exercícios relacionados