{ }^{* * *} Dados dois vetores definidos em coordenadas cartesianas por \vec{A}=3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath} e \vec{B}= -\hat{\imath}+5 \hat{k}. Determine o vetor \vec{C} em módulo, direção e sentido, de modo que, ao ser somado \operatorname{com} \vec{A} \times \vec{B}, resulta um vetor dado por \vec{R}=4 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{A}=3\,\hat{\imath}-2\,\hat{\jmath} e \vec{B}=-1\,\hat{\imath}+5\,\hat{k}
e pede \vec{C} de modo que
\vec{C} + (\vec{A}\times\vec{B}) \;=\;\vec{R} \quad\text{com}\quad \vec{R}=4\,\hat{\imath}-3\,\hat{\jmath}.
Para resolver vamos usar a definição de produto vetorial, depois fazer subtração de vetores e, por fim, achar módulo e vetor unitário de \vec{C}.

Passo 2

Calcular \vec{A}\times\vec{B} via determinante:
\vec{A}\times\vec{B} =\begin{vmatrix} \hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\\\ 3&-2&0\\\\ -1&0&5 \end{vmatrix} =\hat{\imath}\,((-2)\cdot5-0\cdot0)\;-\;\hat{\jmath}\,(3\cdot5-0\cdot(-1))\;+\;\hat{k}\,(3\cdot0-(-2)\cdot(-1))
\vec{A}\times\vec{B} =-10\,\hat{\imath}-15\,\hat{\jmath}-2\,\hat{k}.

Passo 3

Usar \vec{C}=\vec{R}-(\vec{A}\times\vec{B}):
\vec{C} =(4\,\hat{\imath}-3\,\hat{\jmath})-(-10\,\hat{\imath}-15\,\hat{\jmath}-2\,\hat{k}) =14\,\hat{\imath}+12\,\hat{\jmath}+2\,\hat{k}.

Passo 4

Calcular o módulo de \vec{C}:
\|\vec{C}\| =\sqrt{14^2+12^2+2^2} =\sqrt{196+144+4} =\sqrt{344} =2\sqrt{86}.

Passo 5

Determinar o vetor unitário na direção de \vec{C}, que indica sua direção e sentido:
\hat{u}_C =\frac{\vec{C}}{\|\vec{C}\|} =\frac{1}{2\sqrt{86}}\bigl(14\,\hat{\imath}+12\,\hat{\jmath}+2\,\hat{k}\bigr) =\frac{7}{\sqrt{86}}\,\hat{\imath}+\frac{6}{\sqrt{86}}\,\hat{\jmath}+\frac{1}{\sqrt{86}}\,\hat{k}.

Resposta

\displaystyle \vec{C}=14\,\hat{\imath}+12\,\hat{\jmath}+2\,\hat{k}, \displaystyle \|\vec{C}\|=2\sqrt{86},
direção e sentido dados pelo vetor unitário \displaystyle \hat{u}_C=\frac{7}{\sqrt{86}}\,\hat{\imath}+\frac{6}{\sqrt{86}}\,\hat{\jmath}+\frac{1}{\sqrt{86}}\,\hat{k}.

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