{ }^{* * *} Dados três vetores definidos em coordenadas cartesianas por \vec{A}=4 \hat{\imath}-5 \hat{\jmath}-\hat{k}, \vec{B}= -2 \hat{\imath}+4 \hat{k} e \vec{C}=8 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+3 \hat{k}. Determine as coordenadas de um vetor \vec{D} tal que 2 \vec{A}+\vec{B}- 3 \overrightarrow{\mathrm{C}}+5 \overrightarrow{\mathrm{D}}=\overrightarrow{\mathrm{R}}, sendo \overrightarrow{\mathrm{R}}=-5 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+7 \hat{\mathrm{k}}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em coordenadas cartesianas \vec{A}=4\hat\imath-5\hat\jmath-\hat k, \vec{B}=-2\hat\imath+4\hat k e \vec{C}=8\hat\imath-4\hat\jmath+3\hat k,
e pede um vetor \vec{D} tal que
2\vec{A}+\vec{B}-3\vec{C}+5\vec{D}=\vec{R},
onde \vec{R}=-5\hat\imath+2\hat\jmath+7\hat k.
O conteúdo envolvido é soma de vetores, multiplicação por escalar e resolução de equação vetorial.

Passo 2

Vamos calcular 2\vec{A}, -3\vec{C} e então a soma 2\vec{A}+\vec{B}-3\vec{C}:
2\vec{A} =2\bigl(4\hat\imath-5\hat\jmath-\hat k\bigr) =8\hat\imath-10\hat\jmath-2\hat k
-3\vec{C} =-3\bigl(8\hat\imath-4\hat\jmath+3\hat k\bigr) =-24\hat\imath+12\hat\jmath-9\hat k \vec{B}=-2\hat\imath+4\hat k. Somando tudo:
2\vec{A}+\vec{B}-3\vec{C} =(8-2-24)\hat\imath+(-10+0+12)\hat\jmath+(-2+4-9)\hat k =-18\hat\imath+2\hat\jmath-7\hat k.

Passo 3

A equação vetorial é
-18\hat\imath+2\hat\jmath-7\hat k+5\vec{D} =-5\hat\imath+2\hat\jmath+7\hat k.
Isolando 5\vec{D},
5\vec{D} =\bigl(-5\hat\imath+2\hat\jmath+7\hat k\bigr) -\bigl(-18\hat\imath+2\hat\jmath-7\hat k\bigr) =13\hat\imath+0\hat\jmath+14\hat k.

Passo 4

Dividindo por 5 para obter \vec{D}:
\vec{D} =\frac{13}{5}\hat\imath+0\hat\jmath+\frac{14}{5}\hat k.

Resposta

\vec{D}=\frac{13}{5}\,\hat\imath+0\,\hat\jmath+\frac{14}{5}\,\hat k.

Exercícios relacionados