31 A ordem em que montamos um sistema de cargas pontuais afeta o trabalho total realizado?
Passo 1
O enunciado pergunta se a ordem em que montamos um sistema de cargas pontuais afeta o trabalho total realizado.
Informações/condições implícitas que vamos considerar (tudo que o problema dá):
Informações/condições implícitas que vamos considerar (tudo que o problema dá):
- Há um conjunto final de
cargas puntuais fixadas em posições especificadas . - As cargas são trazidas do infinito e colocadas nessas posições uma a uma.
- Quer-se saber se o trabalho total necessário para montar a configuração depende da ordem com que as cargas são trazidas.
Passo 2
Entender o trabalho para trazer uma carga para uma região onde já existem outras cargas: conceito e fórmula.
- Definição física: o trabalho realizado por uma força externa para trazer uma carga
de até um ponto onde existe um potencial elétrico é . Aqui é o potencial elétrico produzido pelas cargas já presentes, avaliado no local onde a nova carga será colocada. - Potencial de uma carga pontual: o potencial produzido por uma única carga pontual
em uma distância é dado por
onde
é a constante eletrostática.
- Se já existem várias cargas
(com em um conjunto), o potencial no ponto é a soma dos potenciais das cargas:
onde
é a distância entre a carga
e o ponto
.
Passo 3
Calcular o trabalho ao montar a configuração trazendo as cargas uma a uma.
- Suponha que a ordem escolhida para trazer as cargas seja
. - Ao trazer a primeira carga
do infinito até , não há outras cargas presentes, logo o potencial é e o trabalho é
- Ao trazer a segunda carga
até , existe apenas já colocada. O trabalho é
onde
.
- Ao trazer a terceira carga
, as cargas e já estão no lugar, então
- Em geral, ao trazer a carga
(a -ésima na ordem escolhida), o trabalho é a soma das interações com todas as cargas já colocadas:
Passo 4
Somando os trabalhos parciais para obter o trabalho total na ordem dada.
- O trabalho total para a sequência
é
- Essa soma dupla percorre cada par distinto de índices exatamente uma vez, contando o par
apenas quando . Podemos reescrever a soma de forma mais simétrica como
- Como a expressão à direita só depende dos produtos
e das distâncias entre os pares de cargas, ela não depende da ordem em que as cargas foram trazidas — a soma sobre todos os pares finais é a mesma qualquer que seja a ordem.
Passo 5
Mostrar a forma usual e conectar com energia potencial eletrostática.
- A forma mais comum escrita é
- Essa quantidade é exatamente a energia potencial eletrostática
do conjunto de cargas pontuais. Como é uma função apenas da configuração (valores das cargas e suas posições), ela não depende do caminho nem da ordem de montagem. - Físicamente isso decorre do fato de que a força eletrostática é conservativa: o trabalho para levar uma carga de
até um ponto depende só do ponto final, não do caminho ou da história.
Passo 6
Observações e possíveis exceções práticas (coisa para ficar atento na prova).
- Se houver campos externos fixos ou condutores que induzem cargas ao longo do processo, então o trabalho total pode envolver contribuições adicionais e o problema precisa ser formulado com cuidado; a expressão acima vale para um conjunto de cargas puntuais isoladas no vácuo sem efeitos de materiais condutores que mudem durante a montagem.
- Se as cargas não são trazidas do infinito mas de posições finitas diferentes, então o trabalho depende das trajetórias iniciais; a formulação padrão assume origem em
. - Mas para o enunciado típico (trazer cargas do infinito e colocá‑las em posições fixas), a conclusão é clara: a ordem não altera o trabalho total.
Resposta
Não; o trabalho total é independente da ordem. O trabalho total é
que depende apenas das cargas finais e das distâncias entre elas.