31 A ordem em que montamos um sistema de cargas pontuais afeta o trabalho total realizado?

Passo 1

O enunciado pergunta se a ordem em que montamos um sistema de cargas pontuais afeta o trabalho total realizado.
Informações/condições implícitas que vamos considerar (tudo que o problema dá):
  • Há um conjunto final de N cargas puntuais \{q_1,q_2,\dots,q_N\} fixadas em posições especificadas \{\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N\}.
  • As cargas são trazidas do infinito e colocadas nessas posições uma a uma.
  • Quer-se saber se o trabalho total necessário para montar a configuração depende da ordem com que as cargas são trazidas.

Passo 2

Entender o trabalho para trazer uma carga para uma região onde já existem outras cargas: conceito e fórmula.
  • Definição física: o trabalho realizado por uma força externa para trazer uma carga q de \infty até um ponto onde existe um potencial elétrico V é W=qV. Aqui V é o potencial elétrico produzido pelas cargas já presentes, avaliado no local onde a nova carga será colocada.
  • Potencial de uma carga pontual: o potencial produzido por uma única carga pontual q_j em uma distância r é dado por
V = k\,\frac{q_j}{r},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} é a constante eletrostática.
  • Se já existem várias cargas q_j (com j em um conjunto), o potencial no ponto é a soma dos potenciais das cargas:
V(\mathbf{r}) = k\sum_{j} \frac{q_j}{r_{j}},
onde r_{j} é a distância entre a carga q_j e o ponto \mathbf{r}.

Passo 3

Calcular o trabalho ao montar a configuração trazendo as cargas uma a uma.
  • Suponha que a ordem escolhida para trazer as cargas seja q_{i_1},q_{i_2},\dots,q_{i_N}.
  • Ao trazer a primeira carga q_{i_1} do infinito até \mathbf{r}_{i_1}, não há outras cargas presentes, logo o potencial é 0 e o trabalho é
W_1 = q_{i_1}\cdot 0 = 0.
  • Ao trazer a segunda carga q_{i_2} até \mathbf{r}_{i_2}, existe apenas q_{i_1} já colocada. O trabalho é
W_2 = q_{i_2}\,V_{(1)}(\mathbf{r}_{i_2}) = k\,\frac{q_{i_1}q_{i_2}}{r_{i_1 i_2}},
onde r_{i_1 i_2}=\lVert\mathbf{r}_{i_1}-\mathbf{r}_{i_2}\rVert.
  • Ao trazer a terceira carga q_{i_3}, as cargas q_{i_1} e q_{i_2} já estão no lugar, então
W_3 = q_{i_3}\,V_{(1,2)}(\mathbf{r}_{i_3}) = k\left(\frac{q_{i_1}q_{i_3}}{r_{i_1 i_3}}+\frac{q_{i_2}q_{i_3}}{r_{i_2 i_3}}\right).
  • Em geral, ao trazer a carga q_{i_m} (a m-ésima na ordem escolhida), o trabalho é a soma das interações com todas as m-1 cargas já colocadas:
W_m = k\sum_{p=1}^{m-1} \frac{q_{i_p} q_{i_m}}{r_{i_p i_m}}.

Passo 4

Somando os trabalhos parciais para obter o trabalho total na ordem dada.
  • O trabalho total para a sequência i_1,i_2,\dots,i_N é
W_{\text{total}}=\sum_{m=1}^{N} W_m = k\sum_{m=1}^{N}\sum_{p=1}^{m-1} \frac{q_{i_p} q_{i_m}}{r_{i_p i_m}}.
  • Essa soma dupla percorre cada par distinto de índices exatamente uma vez, contando o par (i_p,i_m) apenas quando p<m. Podemos reescrever a soma de forma mais simétrica como
W_{\text{total}} = k\sum_{p<m} \frac{q_{i_p} q_{i_m}}{r_{i_p i_m}}.
  • Como a expressão à direita só depende dos produtos q_a q_b e das distâncias r_{ab} entre os pares de cargas, ela não depende da ordem em que as cargas foram trazidas — a soma sobre todos os pares finais é a mesma qualquer que seja a ordem.

Passo 5

Mostrar a forma usual e conectar com energia potencial eletrostática.
  • A forma mais comum escrita é
W_{\text{total}} = k\sum_{a<b} \frac{q_a q_b}{r_{ab}}.
  • Essa quantidade é exatamente a energia potencial eletrostática U do conjunto de cargas pontuais. Como U é uma função apenas da configuração (valores das cargas e suas posições), ela não depende do caminho nem da ordem de montagem.
  • Físicamente isso decorre do fato de que a força eletrostática é conservativa: o trabalho para levar uma carga de \infty até um ponto depende só do ponto final, não do caminho ou da história.

Passo 6

Observações e possíveis exceções práticas (coisa para ficar atento na prova).
  • Se houver campos externos fixos ou condutores que induzem cargas ao longo do processo, então o trabalho total pode envolver contribuições adicionais e o problema precisa ser formulado com cuidado; a expressão acima vale para um conjunto de cargas puntuais isoladas no vácuo sem efeitos de materiais condutores que mudem durante a montagem.
  • Se as cargas não são trazidas do infinito mas de posições finitas diferentes, então o trabalho depende das trajetórias iniciais; a formulação padrão assume origem em \infty.
  • Mas para o enunciado típico (trazer cargas do infinito e colocá‑las em posições fixas), a conclusão é clara: a ordem não altera o trabalho total.

Resposta

Não; o trabalho total é independente da ordem. O trabalho total é
W_{\text{total}} = U = k\sum_{a<b} \frac{q_a q_b}{r_{ab}},
que depende apenas das cargas finais e das distâncias entre elas.

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