Problema 03) Quatro partículas carregadas estão localizadas nos vértices de um quadrado de lado
.
a) Determine o campo elétrico na posição da carga
e
b) a força elétrica tólal exercida sobre
.
a) Determine o campo elétrico na posição da carga
b) a força elétrica tólal exercida sobre
Passo 1
O enunciado (interpretação escolhida aqui) dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
- Quatro partículas carregadas estão nos vértices de um quadrado de lado
. - Cada uma das quatro partículas tem carga
(vou assumir as quatro iguais a ; o enunciado não especificou cargas diferentes). - Queremos o campo elétrico e a força elétrica na posição de uma das cargas — isto é, no vértice onde está uma das cargas
— causados pelas outras três cargas. Observação importante: o campo devido à própria carga no mesmo ponto é infinito/indefinido, então sempre calculamos o campo no ponto daquela carga causado apenas pelas outras três cargas.
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar o campo elétrico no ponto onde está a carga
(devido às outras três cargas). - (b) Determinar a força elétrica total exercida sobre essa carga
.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e identificar posições das cargas (isso facilita somar vetores).
- Coloco a carga de interesse no vértice A na origem: posição
. - As outras três cargas ficam nos vértices:
- B em
, - D em
, - C em
.
- B em
Explicação: escolher a origem num vértice é só conveniência matemática — valores físicos não mudam. Vou usar os versores
(eixo
) e
(eixo
).
Passo 3
Lembrar e explicar a lei que usamos: Lei de Coulomb para campo elétrico (campo criado por uma carga pontual).
- Fórmula:
onde:
-
é a carga fonte que cria o campo; -
é a distância do ponto de interesse até a carga fonte; -
é o versor que aponta da carga fonte para o ponto onde se calcula o campo (ou seja, direção do campo produzido por uma carga positiva é para fora da carga); -
é a permissividade do vácuo; - frequentemente definimos
para simplificar os escritos.
Observação conceitual: o campo elétrico é um vetor; para somar contribuições de várias cargas, somam-se vetorialmente as contribuições de cada carga.
Passo 4
Calcular a contribuição de cada uma das três cargas sobre o ponto
.
- Carga em B (posição
):
- Distância até a origem:
. - Direção: do ponto B para a origem é no sentido negativo de
, mas para achar o campo no ponto A devido à carga em B usamos o versor que aponta de B para A. Contudo é mais simples: pensar na carga em B criando campo em A com direção de B A. Se a carga for positiva, o campo em A aponta de B para A, que é no sentido . Como eu coloquei a carga de interesse em A e as demais também iguais a , a contribuição de magnitude é
Direção: de B para A é
. Porém, atenção: eu preferi no Passo 2 colocar a carga de interesse em A (origem) e as outras em B, D, C. Para manter consistência de sinais é mais intuitivo calcular os vetores apontando da carga-fonte para o ponto A. Assim a contribuição vetorial de B é
- Carga em D (posição
):
- Distância
. - Direção: de D para A é
. - Contribuição vetorial:
- Carga em C (posição
, diagonal):
- Distância até a origem:
. - Magnitude:
- Direção: de C para A é ao longo do vetor
, isto é, no sentido . O versor na direção de C A (normalizado) é
- Contribuição vetorial:
Comentário didático: aqui usei decomposição vetorial da contribuição diagonal em componentes
e
; cada componente é
porque o ângulo é
.
Passo 5
Somar vetorialmente as três contribuições para obter o campo total no ponto A (posição da carga
).
Somando componentes
e
:
- Componente
:
- Componente
:
Observação: as componentes
e
são iguais por simetria. O sinal negativo mostra que o campo resultante aponta para dentro do quadrado, na direção
(isto é, em direção ao centro do quadrado) quando as cargas são positivas.
Escrevendo o vetor campo resultante:
Passo 6
Calcular magnitude e direção do campo (opcional, mas útil) e depois a força.
Magnitude do campo:
- A componente comum é
. - Como
, o módulo é
- Multiplicando:
- Simplificação útil (distribuindo
):
Isso é uma forma compacta e exata do módulo do campo.
Força sobre a carga
no vértice (lei de Lorentz eletrostática para partículas em repouso):
Substituindo o
encontrado:
Magnitude da força:
Interpretação de sinais/direção: se as cargas
são positivas, a força resultante sobre a carga no vértice aponta para o interior do quadrado (na direção
). Se as cargas forem negativas, as direções se invertem.
Passo 7
Resumo final das expressões que convém memorizar para este tipo de simetria:
- Campo elétrico no vértice (devido às outras três cargas
):
- Força elétrica total sobre a carga
nesse vértice: