Problema 03) Quatro partículas carregadas estão localizadas nos vértices de um quadrado de lado a.
a) Determine o campo elétrico na posição da carga q e
b) a força elétrica tólal exercida sobre q.

Passo 1

O enunciado (interpretação escolhida aqui) dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • Quatro partículas carregadas estão nos vértices de um quadrado de lado \,a.
  • Cada uma das quatro partículas tem carga \,q (vou assumir as quatro iguais a \,q; o enunciado não especificou cargas diferentes).
  • Queremos o campo elétrico e a força elétrica na posição de uma das cargas — isto é, no vértice onde está uma das cargas \,q — causados pelas outras três cargas. Observação importante: o campo devido à própria carga no mesmo ponto é infinito/indefinido, então sempre calculamos o campo no ponto daquela carga causado apenas pelas outras três cargas.
O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar o campo elétrico no ponto onde está a carga \,q (devido às outras três cargas).
  • (b) Determinar a força elétrica total exercida sobre essa carga \,q.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e identificar posições das cargas (isso facilita somar vetores).
  • Coloco a carga de interesse no vértice A na origem: posição (0,0).
  • As outras três cargas ficam nos vértices:
    • B em (a,0),
    • D em (0,a),
    • C em (a,a).
Explicação: escolher a origem num vértice é só conveniência matemática — valores físicos não mudam. Vou usar os versores \hat{\mathbf{i}} (eixo x) e \hat{\mathbf{j}} (eixo y).

Passo 3

Lembrar e explicar a lei que usamos: Lei de Coulomb para campo elétrico (campo criado por uma carga pontual).
  • Fórmula: \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • \,Q é a carga fonte que cria o campo;
  • r é a distância do ponto de interesse até a carga fonte;
  • \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta da carga fonte para o ponto onde se calcula o campo (ou seja, direção do campo produzido por uma carga positiva é para fora da carga);
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo;
  • frequentemente definimos k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} para simplificar os escritos.
Observação conceitual: o campo elétrico é um vetor; para somar contribuições de várias cargas, somam-se vetorialmente as contribuições de cada carga.

Passo 4

Calcular a contribuição de cada uma das três cargas sobre o ponto (0,0).
  1. Carga em B (posição (a,0)):
  • Distância até a origem: r_B = a.
  • Direção: do ponto B para a origem é no sentido negativo de x, mas para achar o campo no ponto A devido à carga em B usamos o versor que aponta de B para A. Contudo é mais simples: pensar na carga em B criando campo em A com direção de B \toA. Se a carga for positiva, o campo em A aponta de B para A, que é no sentido -\hat{\mathbf{i}}. Como eu coloquei a carga de interesse em A e as demais também iguais a q, a contribuição de magnitude é
E_B = k\,\frac{q}{a^2}.
Direção: de B para A é -\hat{\mathbf{i}}. Porém, atenção: eu preferi no Passo 2 colocar a carga de interesse em A (origem) e as outras em B, D, C. Para manter consistência de sinais é mais intuitivo calcular os vetores apontando da carga-fonte para o ponto A. Assim a contribuição vetorial de B é
\mathbf{E}_B = -k\,\frac{q}{a^2}\,\hat{\mathbf{i}}.
  1. Carga em D (posição (0,a)):
  • Distância r_D = a.
  • Direção: de D para A é -\hat{\mathbf{j}}.
  • Contribuição vetorial:
\mathbf{E}_D = -k\,\frac{q}{a^2}\,\hat{\mathbf{j}}.
  1. Carga em C (posição (a,a), diagonal):
  • Distância até a origem: r_C = \sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.
  • Magnitude:
E_C = k\,\frac{q}{(a\sqrt{2})^2}=k\,\frac{q}{2a^2}.
  • Direção: de C para A é ao longo do vetor (-a,-a), isto é, no sentido -\hat{\mathbf{i}} - \hat{\mathbf{j}}. O versor na direção de C \toA (normalizado) é
\hat{\mathbf{r}}_{C\to A} = -\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).
  • Contribuição vetorial:
\mathbf{E}_C = E_C\,\hat{\mathbf{r}}_{C\to A} = -\frac{kq}{2a^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) = -k\,\frac{q}{2\sqrt{2}\,a^2}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).
Comentário didático: aqui usei decomposição vetorial da contribuição diagonal em componentes x e y; cada componente é E_C/\sqrt{2} porque o ângulo é 45^\circ.

Passo 5

Somar vetorialmente as três contribuições para obter o campo total no ponto A (posição da carga q).
Somando componentes x e y:
  • Componente x:
E_x = (\text{de }B) + (\text{de }C)_x = -k\,\frac{q}{a^2} \;+\; \Big(-k\,\frac{q}{2\sqrt{2}\,a^2}\Big) = -k\,\frac{q}{a^2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big).
  • Componente y:
E_y = (\text{de }D) + (\text{de }C)_y = -k\,\frac{q}{a^2} \;+\; \Big(-k\,\frac{q}{2\sqrt{2}\,a^2}\Big) = -k\,\frac{q}{a^2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big).
Observação: as componentes x e y são iguais por simetria. O sinal negativo mostra que o campo resultante aponta para dentro do quadrado, na direção -\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}} (isto é, em direção ao centro do quadrado) quando as cargas são positivas.
Escrevendo o vetor campo resultante:
\mathbf{E} = -k\,\frac{q}{a^2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big)\,(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).

Passo 6

Calcular magnitude e direção do campo (opcional, mas útil) e depois a força.
Magnitude do campo:
  • A componente comum é E_{\text{comp}} = k\frac{q}{a^2}\Big(1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Big).
  • Como \mathbf{E}= -E_{\text{comp}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}), o módulo é
|\mathbf{E}| = E_{\text{comp}}\sqrt{(\,1\,)^2+(\,1\,)^2} = E_{\text{comp}}\sqrt{2}.
  • Multiplicando:
|\mathbf{E}| = k\,\frac{q}{a^2}\sqrt{2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big).
  • Simplificação útil (distribuindo \sqrt{2}):
|\mathbf{E}| = k\,\frac{q}{a^2}\Big(\sqrt{2} + \tfrac{1}{2}\Big).
Isso é uma forma compacta e exata do módulo do campo.
Força sobre a carga q no vértice (lei de Lorentz eletrostática para partículas em repouso):
\mathbf{F} = q\,\mathbf{E}.
Substituindo o \mathbf{E} encontrado:
\mathbf{F} = -k\,\frac{q^2}{a^2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big)(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).
Magnitude da força:
|\mathbf{F}| = q\,|\mathbf{E}| = k\,\frac{q^2}{a^2}\Big(\sqrt{2}+\tfrac{1}{2}\Big).
Interpretação de sinais/direção: se as cargas \,q são positivas, a força resultante sobre a carga no vértice aponta para o interior do quadrado (na direção -\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}). Se as cargas forem negativas, as direções se invertem.

Passo 7

Resumo final das expressões que convém memorizar para este tipo de simetria:
  • Campo elétrico no vértice (devido às outras três cargas q):
\mathbf{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{a^2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big)(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).
  • Força elétrica total sobre a carga q nesse vértice:
\mathbf{F} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{a^2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big)(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}).

Resposta

\mathbf{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{a^2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big)(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})
\mathbf{F} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{a^2}\Big(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\Big)(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}})

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