O momento angular orbital \vec{L} de uma partícula é dado por \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p} onde \vec{p}=m \vec{v} é o momento linear da partícula. Com as velocidades linear e angular relacionadas por \vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}, mostre que
\vec{L}=m r^{2}[\vec{\omega}-(\vec{\omega} \cdot \hat{r}) \hat{r}] .
Aqui, \hat{r} é um vetor unitário na direção \vec{r}. Para \vec{r} \cdot \vec{\omega}=0, isso se reduz a \vec{L}=I \vec{\omega}, com o momento de inércia I dado por m r^{2}.
Dica: use a relação \vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C})-\vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B}).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes relações e pede para mostrar a expressão indicada:
  • \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
  • \vec{p}=m\vec{v}.
  • \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}.
  • \hat{r} é o vetor unitário na direção de \vec{r} (ou seja, \hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r} com r=|\vec{r}|).
    O que se deve mostrar é
\vec{L}=m r^{2}\bigl[\vec{\omega}-(\vec{\omega}\cdot\hat{r})\hat{r}\bigr].
É dada a dica da identidade vetorial
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B}).

Passo 2

Substitua \vec{p}=m\vec{v} e \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} em \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}. Então:
\vec{L}=\vec{r}\times(m\vec{v})=m\,\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}).
Aqui só foi feita substituição direta e fatorado m por ser escalar.

Passo 3

Aplique a identidade vetorial da dica com \vec{A}=\vec{r}, \vec{B}=\vec{\omega} e \vec{C}=\vec{r}. Assim:
\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\vec{\omega}(\vec{r}\cdot\vec{r})-\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{\omega}).
Explique o que cada termo significa: \vec{r}\cdot\vec{r}=r^{2} é o quadrado do módulo de \vec{r}, e \vec{r}\cdot\vec{\omega} é a componente de \vec{\omega} ao longo de \vec{r} vezes r.

Passo 4

Substitua o resultado do passo anterior em \vec{L}:
\vec{L}=m\bigl[\vec{\omega}(\vec{r}\cdot\vec{r})-\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{\omega})\bigr] = m\bigl[r^{2}\vec{\omega}-\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{\omega})\bigr].
Aqui usamos explicitamente \vec{r}\cdot\vec{r}=r^{2}.

Passo 5

Expresse \vec{r} em função de \hat{r}: \vec{r}=r\hat{r}. Então
\vec{r}(\vec{r}\cdot\vec{\omega})=(r\hat{r})(r\hat{r}\cdot\vec{\omega})=r^{2}(\hat{r}\,(\hat{r}\cdot\vec{\omega})).
Substituindo na expressão de \vec{L} obtemos:
\vec{L}=m\bigl[r^{2}\vec{\omega}-r^{2}(\hat{r}(\hat{r}\cdot\vec{\omega}))\bigr] = m r^{2}\bigl[\vec{\omega}-(\hat{r}\cdot\vec{\omega})\hat{r}\bigr].
Note que (\hat{r}\cdot\vec{\omega})\hat{r}=(\vec{\omega}\cdot\hat{r})\hat{r}, ou seja, o produto escalar é comutativo.

Passo 6

Interpretação física e caso especial: a expressão mostra que apenas a componente de \vec{\omega} perpendicular a \hat{r} contribui para \vec{L}. Decompondo \vec{\omega}=(\vec{\omega}\cdot\hat{r})\hat{r}+[\vec{\omega}-(\vec{\omega}\cdot\hat{r})\hat{r}], o colchete é a componente perpendicular. Se \vec{r}\cdot\vec{\omega}=0 então (\vec{\omega}\cdot\hat{r})=0 e a expressão reduz-se a
\vec{L}=m r^{2}\vec{\omega}.
Reconhece-se I=m r^{2} como o momento de inércia de uma massa pontual a distância r do eixo, então \vec{L}=I\vec{\omega} nesse caso.

Resposta

\vec{L}=m r^{2}\bigl[\vec{\omega}-(\vec{\omega}\cdot\hat{r})\hat{r}\bigr]
\vec{L}=I\vec{\omega} \text{quando }\vec{r}\cdot\vec{\omega}=0,\text{ com }I=mr^{2}

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