O momento angular orbital
de uma partícula é dado por
onde
é o momento linear da partícula. Com as velocidades linear e angular relacionadas por
, mostre que
Aqui,
é um vetor unitário na direção
. Para
, isso se reduz a
, com o momento de inércia
dado por
.
Dica: use a relação
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes relações e pede para mostrar a expressão indicada:
-
. -
. -
. -
é o vetor unitário na direção de (ou seja, com ).
O que se deve mostrar é
É dada a dica da identidade vetorial
Passo 2
Substitua
e
em
. Então:
Aqui só foi feita substituição direta e fatorado
por ser escalar.
Passo 3
Aplique a identidade vetorial da dica com
,
e
. Assim:
Explique o que cada termo significa:
é o quadrado do módulo de
, e
é a componente de
ao longo de
vezes
.
Passo 4
Substitua o resultado do passo anterior em
:
Aqui usamos explicitamente
.
Passo 5
Expresse
em função de
:
. Então
Substituindo na expressão de
obtemos:
Note que
, ou seja, o produto escalar é comutativo.
Passo 6
Interpretação física e caso especial: a expressão mostra que apenas a componente de
perpendicular a
contribui para
. Decompondo
, o colchete é a componente perpendicular. Se
então
e a expressão reduz-se a
Reconhece-se
como o momento de inércia de uma massa pontual a distância
do eixo, então
nesse caso.