2.31 ^ a Prova-06 de outubro de 2007

Prove que a função f(x)=x sen(1x)-cos (1x) tem assíntota horizontal.
[Sugestão: faça 1x=theta.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=xsin!l(1xr)-cos!l(1xr)
possui assíntota horizontal. O conteúdo envolvido é cálculo de limite quando xto +infty. Vamos usar a sugestão de mudança de variável theta=1/x.

Passo 2

Com theta=1/x, quando xto+infty temos thetato0^+. Reescrevendo f em termos de theta,
xsin!l(1xr) =sinthetatheta, cos!l(1xr)=costheta
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f(x);=;sinthetatheta-costheta

Passo 3

Agora calculamos os limites conhecidos quando thetato0:
limthetato0sinthetatheta=1,
limthetato0costheta=1
Subtraindo, obtemos
limthetato0l(tfracsinthetatheta-costhetar) =1-1=0

Passo 4

Como theta=1/x e thetato0 equivale a xto+infty, isso mostra
limxto+inftyf(x)=0
Portanto, y=0 é assíntota horizontal de f.

Resposta

A assíntota horizontal é y=0.

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