Exercício 20. (F. 4.3, ex.6) Resolva a equação abaixo:
Passo 1
O enunciado pede resolver a PDE de onda amortecida com amortecimento viscoso
para
(t,x)in]0,infty[times]0,l[ , sujeita às condições de contorno
e condições iniciais
O método será separação de variáveis e expansão em série de senos.
Passo 2
Procuramos solução da forma
Substituindo na PDE e dividindo por
T,X obtemos
Isso gera dois ODEs acoplados:
Passo 3
O problema espacial só tem solução não-trivial para
Passo 4
Para cada
n , o ODE em
t é
cuja equação característica
tem raízes
No caso subamortecido (
k^2<c^2(npi/l)^2 ) definimos
omegan=raizc^2(npi/l)^2-k^2
e escrevemos
e escrevemos
Passo 5
Logo a solução geral é
Impondo as condições iniciais
onde
obtemos
Passo 6
Substituindo
An e
Bn na expansão, a solução final fica
com
omegan=raizc^2l(tfracnpilr)^2-k^2 .
Resposta
onde
e
omegan=raizc^2l(tfracnpilr)^2-k^2 .