Exercício 20. (F. 4.3, ex.6) Resolva a equação abaixo:
c partial^2 upartial t^2(t, x)=c^2 partial^2 upartial x^2(t, x)-2 k partial upartial t,(t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=u(t, l)=0, t>0 u(0, x)=f(x), forall x in] 0, l[ partial upartial t(0, x)=g(x), forall x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado pede resolver a PDE de onda amortecida com amortecimento viscoso
partial^2 upartial t^2(t,x)=c^2partial^2 upartial x^2(t,x)-2kpartial upartial t(t,x)
para (t,x)in]0,infty[times]0,l[, sujeita às condições de contorno
u(t,0)=u(t,l)=0, t>0
e condições iniciais
u(0,x)=f(x), partial upartial t(0,x)=g(x), xin]0,l[
O método será separação de variáveis e expansão em série de senos.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(t,x)=T(t),X(x)
Substituindo na PDE e dividindo por T,X obtemos
T''(t)T(t)+2k,T'(t)T(t) =c^2,X''(x)X(x)=-lambda
Isso gera dois ODEs acoplados:
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=X(l)=0,
T''(t)+2k,T'(t)+c^2lambda,T(t)=0

Passo 3

O problema espacial só tem solução não-trivial para
lambdan=l(npilr)^2, Xn(x)=sin!l(tfracnpilxr), n=1,2,dots

Passo 4

Para cada n, o ODE em t é
Tn''(t)+2k,Tn'(t)+c^2l(npilr)^2Tn(t)=0,
cuja equação característica
r^2+2kr+c^2l(tfracnpilr)^2=0
tem raízes
rnpm=-kpmraizk^2-c^2l(tfracnpilr)^2
No caso subamortecido ( k^2<c^2(npi/l)^2) definimos
omegan=raizc^2(npi/l)^2-k^2
e escrevemos
Tn(t)=e^-ktl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)

Passo 5

Logo a solução geral é
u(t,x)=sumn=1^infty Tn(t),Xn(x) =sumn=1^infty e^-ktl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r) sin!l(tfracnpilxr)
Impondo as condições iniciais
u(0,x)=f(x)=sumn=1^infty fnsin!l(tfracnpilxr), partial upartial t(0,x)=g(x)=sumn=1^infty gnsin!l(tfracnpilxr),
onde
fn=2lintegral0^l f(x)sin!l(tfracnpilxr),dx, gn=2lintegral0^l g(x)sin!l(tfracnpilxr),dx,
obtemos
An=fn, Bn=gn+kfnomegan

Passo 6

Substituindo An e Bn na expansão, a solução final fica
u(t,x)=sumn=1^infty e^-ktl( fncos(omegan t)+gn+kfnomegansin(omegan t) r)sin!l(tfracnpilxr),
com omegan=raizc^2l(tfracnpilr)^2-k^2.

Resposta

u(t,x)=sumn=1^infty e^-kt!l(fncos(omegan t)+tfracgn+kfnomegansin(omegan t)r)sin!l(tfracnpilxr),
onde
fn=2lintegral0^l f(x)sinl(tfracnpilxr),dx, gn=2lintegral0^l g(x)sinl(tfracnpilxr),dx,
e omegan=raizc^2l(tfracnpilr)^2-k^2.

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