Determine:
a equação da reta tangente à curva 2 y=sen(y)+cos (2 x) no ponto (pi4, 0)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por
2y = sin(y) + cos(2x)
no ponto l(x0,y0r)=l(tfracpi4,0r). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para obter a derivada y'=dy/dx e então calcular o coeficiente angular no ponto dado.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
2y = sin(y) + cos(2x)
em relação a x, temos
2,y' = cos(y),y' - 2sin(2x)
Agora, isolamos y':
y'l(2 - cos(y)r) = -2sin(2x) Longrightarrow y' = -2sin(2x)2 - cos(y)

Passo 3

Avaliaremos y' em l(x0,y0r)=l(tfracpi4,0r). Note que
sin(2x0)=sinl(tfracpi2r)=1 e cos(y0)=cos(0)=1. Logo,
y'l(tfracpi4,0r) = -2cdot12 - 1 = -2
O coeficiente angular da reta tangente é m=-2.

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 0 = -2l(x - tfracpi4r) Longrightarrow y = -2x + tfracpi2

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