Uma bola de massa
em queda sob ação da gravidade (aceleração
) experimenta uma força extra na vertical para cima dada por
, com
constante positiva e
a velocidade da bola. Determine como a velocidade dessa bola varia com sua posição, se ela foi solta de uma altura
do solo. Cuidado com convenções de sinais.
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede (atenção nas convenções de sinal, conforme o enunciado pede cuidado):
- Dados fornecidos:
- Massa da bola:
. - Aceleração da gravidade:
. - Força de arrasto adicional (para cima):
, com constante e a velocidade da bola. - A bola é solta do repouso a uma altura
do solo (ou seja, velocidade inicial no instante de soltura).
- Massa da bola:
- O que se pede:
- Determinar como a velocidade da bola varia com sua posição vertical, isto é achar
em função da posição.
- Determinar como a velocidade da bola varia com sua posição vertical, isto é achar
- Convenções de sinal que vou usar (explicitando para evitar confusão):
- Tomarei a coordenada vertical
medida a partir do ponto de soltura para baixo: no ponto de soltura e aumenta quando a bola desce. Com isso a velocidade será positiva durante a queda. - Com essa convenção, a força peso aponta para baixo e contribui com
na equação do movimento; a força de arrasto aponta para cima e é , já dada no enunciado.
- Tomarei a coordenada vertical
Passo 2
Escrever a segunda lei de Newton com as forças na vertical (somatório das forças = massa vezes aceleração):
- Soma das forças na direção positiva (para baixo):
- Peso:
. - Arrasto (para cima):
.
- Peso:
- Portanto, aplicando
e lembrando que a aceleração , obtemos
- Podemos simplificar dividindo por
(assumindo ):
Aqui cada símbolo significa:
-
é a velocidade para baixo (positiva), -
é positiva (módulo da gravidade), -
é a constante positiva do arrasto.
Passo 3
Transformar a equação em uma relação entre
e a posição
(isso é útil porque a pergunta pede
em função da posição):
- Usar a regra da cadeia que relaciona derivadas temporais e espaciais:
pois
. Esta identidade vem direto da derivada composta:
.
Passo 4
Substituir
na equação do passo 2 e simplificar:
- Substituindo:
- Esta é uma equação diferencial ordinária que relaciona
e . Nosso objetivo agora é separá-la e integrá-la usando a condição inicial .
Passo 5
Separar variáveis e preparar a integração:
- Colocar todos os termos em
do lado esquerdo e do lado direito:
- Agora integraremos ambos os lados: à esquerda em
(de até ), e à direita em (de até ) — esses limites correspondem à condição inicial .
Passo 6
Calcular explicitamente a integral do lado esquerdo usando uma substituição simples:
- Considere a integral
- Faça a substituição
. Então , ou seja . - A integral fica
- Voltando à variável
:
- A integral do lado direito é simples:
- Igualando as duas integrais (com os limites aplicados):
Passo 7
Isolar
a partir da expressão logarítmica e simplificar:
- Multiplicando por
:
- Exponenciando:
- Resolver para
:
- Portanto
- Finalmente,
- Como escolhemos
positivo para baixo, tomamos raiz positiva:
Passo 8
Expressar a velocidade ao atingir o solo e comentar comportamento físico:
- A velocidade ao atingir o solo (quando a bola desceu a altura
, isto é ) é
- Comentários físicos e verificação dimensional:
- À medida que
(queda muito longa), e . Este é a velocidade limite (velocidade terminal) imposta pelo equilíbrio entre peso e arrasto. - Dimensionalmente,
tem unidade de inverso de comprimento, de modo que tem unidade de velocidade ao quadrado, e a expressão é consistente. - Se
(sem arrasto), podemos recuperar o caso sem resistência: expandindo para pequenos , nota-se que , que é a relação conhecida do caso sem resistência — boa checagem de consistência.
- À medida que