Pelo método da diferencial exata, resolva as seguintes EDO ( y^{\prime} \equiv d y / d x ):
x y^{\prime}=-\tan (y)

Passo 1

O enunciado pede que se resolva, pelo método da diferencial exata, a equação diferencial ordinária
x\,\frac{dy}{dx} = -\tan(y).
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação está em termos de x e y(x).
  • Quer-se a solução geral da EDO usando o método da diferencial exata (ou seja, apresentar uma primitiva implícita \Phi(x,y)=C obtida por esse método).
  • Não há condições iniciais fornecidas (logo a resposta será a família de soluções gerais, com constante arbitrária).
  • Atenção: a função \tan(y) não está definida quando y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi; também x=0 merece cuidado ao manipular termos que dividam por x.

Passo 2

Colocar a EDO na forma diferencial padrão M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0, sem ainda resolver:
Partindo de
x\,\frac{dy}{dx} = -\tan(y),
multiplicando ambos os lados por dx e rearranjando, obtemos
\tan(y)\,dx + x\,dy = 0.
Portanto podemos identificar
M(x,y) = \tan(y),\qquad N(x,y)=x.
Neste passo só reescrevemos a EDO; a resolução verdadeira começa no passo seguinte.

Passo 3

Explicar o critério de exatidão e testar se a equação já é exata.
  • Lembra: uma forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata se existir uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Um teste prático é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{dy}\tan(y)=\operatorname{sec}^2(y), \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{dx}x = 1.
Como \operatorname{sec}^2(y) não é igual a 1 em geral, a forma não é exata. Portanto precisamos buscar um fator integrante (integrating factor) que torne a equação exata.

Passo 4

Procurar um fator integrante que dependa apenas de y (pois o enunciado pede diferencial exata; este é um caminho clássico).
  • Para uma equação M\,dx+N\,dy=0, se a expressão
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}
é função só de y, então existe um fator integrante \mu(y) dado por \mu(y)=\exp\!\Big(\int g(y)\,dy\Big), onde g(y) é essa função.
Calculemos:
\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \operatorname{sec}^2(y).
Dividindo por M=\tan(y) (lembrando que isso exige \tan(y)\neq0 temporariamente; mais tarde tratamos os casos especiais),
\frac{1-\operatorname{sec}^2(y)}{\tan(y)} = \frac{-\tan^2(y)}{\tan(y)} = -\tan(y).
Isso depende apenas de y. Logo podemos tomar
g(y) = -\tan(y),\qquad \text{e}\qquad \mu(y)=\exp\!\Big(\int -\tan(y)\,dy\Big).

Passo 5

Calcular explicitamente o fator integrante \mu(y).
  • Fazer a integral:
\int -\tan(y)\,dy = \int -\frac{\sin y}{\cos y}\,dy = \ln|\cos y| + C.
Portanto, escolhendo a constante C=0 (fator integrante só precisa ser multiplicado até uma constante), obtemos
\mu(y)=e^{\ln|\cos y|}=|\cos y|.
Podemos, sem perda de generalidade, trabalhar com \mu(y)=\cos(y) tomando a faixa onde \cos(y)>0; a inclusão do valor absoluto só muda o sinal da constante global da solução implícita. Para ser simples, uso \mu(y)=\cos(y). Observação: pontos em que \cos(y)=0 coincidem com as singularidades de \tan(y) e devem ser evitados na solução contínua local.

Passo 6

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e verificar exatidão.
Multiplicando \tan(y)\,dx + x\,dy = 0 por \cos(y) obtemos
\cos(y)\tan(y)\,dx + x\cos(y)\,dy = 0.
Simplificando \cos(y)\tan(y)=\sin(y), ficamos com
\sin(y)\,dx + x\cos(y)\,dy = 0.
Agora as novas funções são
\widetilde M(x,y)=\sin(y),\qquad \widetilde N(x,y)=x\cos(y).
Verifiquemos exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = \cos(y),\qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = \cos(y).
Como são iguais, a forma é exata — bingo! Podemos então procurar uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=\widetilde M e \partial\Phi/\partial y=\widetilde N.

Passo 7

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) e a solução implícita.
  • Integramos \partial\Phi/\partial x=\widetilde M=\sin(y) em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) = \int \sin(y)\,dx = x\sin(y) + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.
  • Agora impondo \partial\Phi/\partial y = \widetilde N = x\cos(y), calculemos a derivada de \Phi em y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = x\cos(y) + h'(y).
Igualando a \widetilde N obtemos x\cos(y) + h'(y) = x\cos(y), portanto h'(y)=0, logo h(y) é constante.
  • Concluímos que a função potencial é, até constante aditiva,
\Phi(x,y) = x\sin(y).
A condição \Phi(x,y)=C fornece a solução implícita geral:
x\sin(y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Interpretar a solução, casos especiais e forma explícita.
  • A solução implícita x\sin(y)=C contém as soluções constantes \sin(y)=0 (ou seja, y=k\pi) quando C=0. Essas são soluções válidas globalmente (verificando na equação original: se y=k\pi então \tan(y)=0 e y'=0 satisfaz x\cdot 0 = -0).
  • Podemos resolver explicitamente para y (quando isso fizer sentido) como
\sin(y)=\frac{C}{x}\quad\Rightarrow\quad y(x)=\arcsin\!\Big(\frac{C}{x}\Big),
com a observação de que isso exige \big|\tfrac{C}{x}\big|\le 1 e escolhas de ramo da função \arcsin. Além disso, deve-se evitar pontos onde \tan(y) não é definido (isto é, y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi) e também x=0 exige cuidado: a dedução que levou a y=\arcsin(C/x) pressupõe x\neq0.
  • Em resumo: a família implícita x\sin(y)=C é a resposta mais apropriada, contendo as soluções constantes quando C=0.

Resposta

x\sin(y)=C
y=\arcsin\!\Big(\dfrac{C}{x}\Big)

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