Pelo método da diferencial exata, resolva as seguintes EDO ( y^{\prime} \equiv d y / d x ): x y^{\prime}=-\tan (y)
Passo 1
O enunciado pede que se resolva, pelo método da diferencial exata, a equação diferencial ordinária
x\,\frac{dy}{dx} = -\tan(y).
Informações dadas e o que se pede:
A equação está em termos de x e y(x).
Quer-se a solução geral da EDO usando o método da diferencial exata (ou seja, apresentar uma primitiva implícita \Phi(x,y)=C obtida por esse método).
Não há condições iniciais fornecidas (logo a resposta será a família de soluções gerais, com constante arbitrária).
Atenção: a função \tan(y) não está definida quando y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi; também x=0 merece cuidado ao manipular termos que dividam por x.
Passo 2
Colocar a EDO na forma diferencial padrão M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0, sem ainda resolver:
Partindo de
x\,\frac{dy}{dx} = -\tan(y),
multiplicando ambos os lados por dx e rearranjando, obtemos
\tan(y)\,dx + x\,dy = 0.
Portanto podemos identificar
M(x,y) = \tan(y),\qquad N(x,y)=x.
Neste passo só reescrevemos a EDO; a resolução verdadeira começa no passo seguinte.
Passo 3
Explicar o critério de exatidão e testar se a equação já é exata.
Lembra: uma forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata se existir uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Um teste prático é verificar se
Como \operatorname{sec}^2(y) não é igual a 1 em geral, a forma não é exata. Portanto precisamos buscar um fator integrante (integrating factor) que torne a equação exata.
Passo 4
Procurar um fator integrante que dependa apenas de y (pois o enunciado pede diferencial exata; este é um caminho clássico).
Para uma equação M\,dx+N\,dy=0, se a expressão
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}
é função só de y, então existe um fator integrante \mu(y) dado por \mu(y)=\exp\!\Big(\int g(y)\,dy\Big), onde g(y) é essa função.
Calculemos:
Portanto, escolhendo a constante C=0 (fator integrante só precisa ser multiplicado até uma constante), obtemos
\mu(y)=e^{\ln|\cos y|}=|\cos y|.
Podemos, sem perda de generalidade, trabalhar com \mu(y)=\cos(y) tomando a faixa onde \cos(y)>0; a inclusão do valor absoluto só muda o sinal da constante global da solução implícita. Para ser simples, uso \mu(y)=\cos(y). Observação: pontos em que \cos(y)=0 coincidem com as singularidades de \tan(y) e devem ser evitados na solução contínua local.
Passo 6
Multiplicar a equação original pelo fator integrante e verificar exatidão.
Multiplicando \tan(y)\,dx + x\,dy = 0 por \cos(y) obtemos
Como são iguais, a forma é exata — bingo! Podemos então procurar uma função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=\widetilde M e \partial\Phi/\partial y=\widetilde N.
Passo 7
Encontrar a função potencial \Phi(x,y) e a solução implícita.
Integramos \partial\Phi/\partial x=\widetilde M=\sin(y) em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) = \int \sin(y)\,dx = x\sin(y) + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y.
Agora impondo \partial\Phi/\partial y = \widetilde N = x\cos(y), calculemos a derivada de \Phi em y:
Igualando a \widetilde N obtemos x\cos(y) + h'(y) = x\cos(y), portanto h'(y)=0, logo h(y) é constante.
Concluímos que a função potencial é, até constante aditiva,
\Phi(x,y) = x\sin(y).
A condição \Phi(x,y)=C fornece a solução implícita geral:
x\sin(y) = C,
onde C é constante arbitrária.
Passo 8
Interpretar a solução, casos especiais e forma explícita.
A solução implícita x\sin(y)=C contém as soluções constantes \sin(y)=0 (ou seja, y=k\pi) quando C=0. Essas são soluções válidas globalmente (verificando na equação original: se y=k\pi então \tan(y)=0 e y'=0 satisfaz x\cdot 0 = -0).
Podemos resolver explicitamente para y (quando isso fizer sentido) como
com a observação de que isso exige \big|\tfrac{C}{x}\big|\le 1 e escolhas de ramo da função \arcsin. Além disso, deve-se evitar pontos onde \tan(y) não é definido (isto é, y=\tfrac{\pi}{2}+k\pi) e também x=0 exige cuidado: a dedução que levou a y=\arcsin(C/x) pressupõe x\neq0.
Em resumo: a família implícita x\sin(y)=C é a resposta mais apropriada, contendo as soluções constantes quando C=0.