3.31 Trēs estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B tém a mesma probabilidade de vencer e cada um tem duas vezes mais probabilidade de vencer do que C. Encontre a probabilidade de B ou C vencer.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Três estudantes A, B e C participam; exatamente um deles vence a prova (ou seja, as probabilidades somam 1).
  • A e B têm a mesma probabilidade de vencer.
  • Cada um de A e B tem o dobro da probabilidade de C.
    O que se pede: a probabilidade de B ou C vencer (isto é, a probabilidade de que o vencedor seja B ou C).

Passo 2

Vamos traduzir as informações em variáveis e equações. Seja p_A a probabilidade de A vencer, p_B a de B e p_C a de C. Pelas informações:
  • p_A = p_B.
  • Cada um de A e B tem o dobro da probabilidade de C, portanto
p_A = p_B = 2p_C.
Além disso, como exatamente um vence, as probabilidades somam 1:
p_A + p_B + p_C = 1.

Passo 3

Agora usamos as relações para obter uma equação em uma só variável. Substituindo p_A = p_B = 2p_C na soma:
2p_A + p_C = 1.
Mas p_A = 2p_C, então
2(2p_C) + p_C = 1.
Isso dá
4p_C + p_C = 1
5p_C = 1
p_C = \tfrac{1}{5}.
Logo
p_B = 2p_C = 2\cdot\tfrac{1}{5} = \tfrac{2}{5}.

Passo 4

Como os eventos “B vence” e “C vence” são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer juntos), a probabilidade de “B ou C vencer” é a soma das probabilidades:
\Pr(B\\ \text{ou}\\ C)=p_B+p_C=\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{5}.
Dica rápida para prova: pode também pensar em razões A:B:C = 2:2:1. Soma das partes =5, e B+C tem 2+1=3 partes, logo 3/5.

Passo 5

Resumo didático rápido: transformar a palavra “duas vezes mais provável” em uma relação algébrica simples ( p_A=p_B=2p_C), usar que as probabilidades somam 1, resolver para p_C e somar p_B+p_C. Força aí — é um tipo de exercício bem comum e fácil de fazer rápido na prova.

Resposta

\tfrac{3}{5}

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