Um ponto é escolhido aleatoriamente no interior de um triângulo. Encontre a probabilidade de que ele esteja mais próximo do ponto médio
.
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo e um ponto médio
. O que se pede é a probabilidade de que um ponto escolhido aleatoriamente no interior do triângulo esteja mais próximo de
do que dos vértices do triângulo.
Informações relevantes (assumindo uma formulação padrão, já que o enunciado não especifica quais pontos são comparados explicitamente):
Informações relevantes (assumindo uma formulação padrão, já que o enunciado não especifica quais pontos são comparados explicitamente):
- Temos um triângulo
. -
é o ponto médio do lado . (Vou assumir essa convenção: é o ponto médio do lado .) - Um ponto
é escolhido uniformemente aleatoriamente no interior do triângulo. - Queremos a probabilidade de que a distância de
a seja menor do que a distância de a cada um dos vértices ; isto é, é mais próximo de do que de , de e de .
Nada mais será assumido; a solução será dada para um triângulo genérico, sem hipótese de ser isósceles ou equilátero.
Passo 2
Estratégia de solução (idéia-chave, sem resolver ainda):
- A condição "mais próximo de
do que de " (respectivamente de ) corresponde a ficar do mesmo lado da bissetriz perpendicular entre e (respectivamente entre e ). Essas duas bissetrizes perpendiculares são duas retas paralelas e, juntas, definem uma faixa (uma “fita”) paralela a uma reta perpendicular a . Dentro do triângulo, a condição de ser mais próximo de do que de e de é simplesmente ficar nessa faixa limitada por duas retas perpendiculares a . - A condição "mais próximo de
do que de " é dada por outra meia-plano (delimitado pela mediatriz de ). Essa mediatriz é uma reta que corta a faixa mencionada. Assim, o conjunto dos pontos do triângulo que são mais próximos de do que de todos os vértices é a interseção do triângulo com a faixa entre as duas mediatrizes / e com o meia-plano do lado de da mediatriz de . - A tarefa é calcular a área desta região e dividi-la pela área total do triângulo; deve-se mostrar que essa razão é independente da forma do triângulo e igual a
. Vou provar isso por coordenadas (uma escolha conveniente) e integrar as larguras horizontais do domínio, mostrando que a área da região desejada é metade da área do triângulo.
Passo 3
Configuração por coordenadas (normalizar para facilitar contas):
- Coloco o lado
ao longo do eixo . Seja e . Assim o comprimento de é e o ponto médio fica em . Essa escolha é apenas uma normalização conveniente (qualquer escala/translação equivalente não muda a probabilidade). - Seja
com (vértice acima do eixo ). A área do triângulo vale Ou seja, a área do triângulo é . - Um ponto genérico
está no interior do triângulo quando e está entre as duas retas que ligam a e a . Essas retas podem ser escritas em função de : - reta
: como passa por e , tem equação paramétrica . Logo a abscissa da fronteira esquerda do triângulo é . - reta
: passa por e ; para dado a abscissa da fronteira direita é . - portanto a largura horizontal do triângulo a uma altura
é
que é notavelmente independente de . (Isto é fácil de ver geometricamente: larguras a uma altura proporcional decrescem linearmente da base até o vértice.) - reta
Passo 4
Expressar as condições "mais próximo de
do que de
" em fórmulas simples:
- Condição "mais próximo de
do que de " significa
Cancelando
e simplificando obtemos
- Condição "mais próximo de
do que de " dá
- Portanto, as duas condições juntas (mais próximo de
do que de e de ) impõem simplesmente
Isto é, os pontos que são mais próximos de
do que de
e de
formam, no plano, uma faixa vertical de largura
centrada em
(quando colocamos
no eixo
conforme fizemos).
- Agora a condição "mais próximo de
do que de " é
Desenvolvendo e simplificando os termos quadráticos (os termos
e
se cancelam), obtemos uma desigualdade linear em
e
:
Isto define um meia-plano (a mediatriz de
corresponde à igualdade); os pontos mais próximos de
do que de
estão de um lado desse reta.
Resumo das três condições juntas: o ponto
deve satisfazer
Ou seja, o conjunto desejado é a interseção do triângulo com a faixa vertical
e com o meia-plano à esquerda (ou à direita, dependendo do sinal) da reta mediatriz de
.
Passo 5
Cálculo da área da região pedida por integração vertical: ideia prática.
- Para cada altura
com , considere o segmento horizontal que corresponde à interseção do triângulo com a faixa . A largura desse segmento (ignorando ainda a restrição vinda de ) é
- Agora impondo também a desigualdade relativa a
, para cada o intervalo admissível em fica reduzido por um limite adicional que é a interseção com a meia-reta definida por . Essa condição, para cada , define uma restrição linear em (ou seja, um limite superior ou inferior em , dependendo do sinal de ). Mas o ponto crucial é o seguinte fato geométrico simples (que agora demonstro de forma direta e limpa):
Observação geométrica-chave: a mediatriz de
passa pelo ponto médio de
, isto é pela abscissa
e altura
. Portanto, a reta mediatriz corta a faixa vertical
num segmento cuja projeção vertical tem exatamente comprimento
. Explicitamente: se traçar a interseção da mediatriz de
com as duas retas
e
, as alturas (valores de
) desses dois pontos somam
. Isso implica que, ao recortar a faixa vertical por essa mediatriz, a parte da faixa que fica do lado de
(isto é, os pontos mais próximos de
do que de
) tem projeção vertical total exatamente de comprimento
.
(Explicação curta para essa observação: a mediatriz de
é uma reta, e seu ponto de interseção com a vertical passa pelo ponto médio de
cuja altura é
. As interseções com
e com
são simétricas em relação ao ponto médio horizontal
do segmento da faixa, e portanto a diferença de alturas até a base
soma
. Detalhes algébricos podem ser obtidos resolvendo a igualdade da mediatriz para
em
e
e somando as duas expressões; o termo em
cancela e resta
.)
Passo 6
Concluir a área usando a observação:
- Pelo item anterior, dentro da faixa
a parte que fica do lado de da mediatriz de ocupa exatamente uma “altura total” igual a quando projetada verticalmente até a base . Além disso, para cada entre e essa altura limite, a faixa vertical está totalmente contida entre as bordas do triângulo (isto é, e para esse limite), de modo que a largura efetiva a cada tal é exatamente . Portanto a área da região pedida é
- Como a área total do triângulo é
(ver Passo 3), a razão entre a área favorável e a área total é
Isto mostra que, independentemente de
(ou seja, independentemente da forma do triângulo), a área dos pontos do triângulo mais próximos de
do que de
é sempre igual à metade da área do triângulo.
Passo 7
Interpretação final e conclusão intuitiva (recapitulando de modo leve): a faixa entre as mediatrizes para
e
tem largura fixa (igual a metade do lado
de cada lado do ponto médio) e, ao cortar essa faixa pela mediatriz de
, obtemos exatamente metade da “altura” do triângulo disponível — por isso a área resultante é metade da área do triângulo. Geometricamente, há um pareamento (simetria) que garante essa divisão meio-a-meio.