Lance duas moedas e um dado.
(i) Descreva o espaço amostral S conveniente.
(ii) Expresse claramente os seguintes eventos: A= [aparecem duas caras e um número par }, B=) {aparece um 2), C= (aparecem exatamente uma cara e um número primo].
(iii) Expresse claramente o evento em que (a) A e B ocorrem (b) somente B ocorre (c) B ou C ocorrem.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (i) descrever um espaço amostral S conveniente para o experimento “lançar duas moedas e um dado”;
  • (ii) expressar claramente os eventos
    • A= [aparecem duas caras e um número par],
    • B= [aparece um 2],
    • C= [aparecem exatamente uma cara e um número primo];
  • (iii) expressar claramente os eventos:
    • (a) A e B ocorrem,
    • (b) somente B ocorre,
    • (c) B ou C ocorrem.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há duas jogadas de moeda (cada uma tem resultados “cara” ou “coroa”); a ordem das jogadas importa (primeira e segunda moeda).
  • Há um lançamento de dado justo com resultados 1,2,3,4,5,6.
  • Assim cada resultado do experimento pode ser representado por um triplo (\text{resultado da 1ª moeda},\\ \text{resultado da 2ª moeda},\\ \text{resultado do dado})ªª.

Passo 2

Construção do espaço amostral S.
Explicação didática rápida: quando temos vários dispositivos independentes (aqui: moeda 1, moeda 2 e dado), o espaço amostral do experimento composto é o produto cartesiano dos espaços de cada dispositivo. Para a moeda o espaço é \{\text{cara},\text{coroa}\} e para o dado é \{1,2,3,4,5,6\}. Portanto o espaço amostral conveniente é
S=\{\text{cara},\text{coroa}\}\times\{\text{cara},\text{coroa}\}\times\{1,2,3,4,5,6\}.
Se quiser ver explicitamente, são 2\cdot2\cdot6=24 resultados; listando-os por blocos de face das moedas:
\begin{aligned} S=\{&(\text{cara},\text{cara},1),(\text{cara},\text{cara},2),(\text{cara},\text{cara},3),(\text{cara},\text{cara},4),(\text{cara},\text{cara},5),(\text{cara},\text{cara},6),\\\ &(\text{cara},\text{coroa},1),(\text{cara},\text{coroa},2),(\text{cara},\text{coroa},3),(\text{cara},\text{coroa},4),(\text{cara},\text{coroa},5),(\text{cara},\text{coroa},6),\\\ &(\text{coroa},\text{cara},1),(\text{coroa},\text{cara},2),(\text{coroa},\text{cara},3),(\text{coroa},\text{cara},4),(\text{coroa},\text{cara},5),(\text{coroa},\text{cara},6),\\\ &(\text{coroa},\text{coroa},1),(\text{coroa},\text{coroa},2),(\text{coroa},\text{coroa},3),(\text{coroa},\text{coroa},4),(\text{coroa},\text{coroa},5),(\text{coroa},\text{coroa},6)\}. \end{aligned}

Passo 3

Definição e construção do evento A = [aparecem duas caras e um número par].
Primeiro, “duas caras” significa que tanto a primeira quanto a segunda moeda resultam em \text{cara}; isso restringe as duas primeiras coordenadas do triplo a (\text{cara},\text{cara}).
Segundo, “número par” no dado significa z\in\{2,4,6\}.
Logo A é o conjunto de todos os triplos com moedas ambas caras e dado par:
A=\{(\text{cara},\text{cara},2),\;(\text{cara},\text{cara},4),\;(\text{cara},\text{cara},6)\}.
Expliquei cada passo: escolha das faces das moedas e escolha dos valores pares do dado.

Passo 4

Definição e construção do evento B = [aparece um 2].
Aqui a condição é apenas sobre o dado: o valor do dado deve ser 2, sem restrição sobre as moedas. Como a ordem das moedas importa, temos todas as combinações das moedas com o dado igual a 2:
B=\{(\text{cara},\text{cara},2),\;(\text{cara},\text{coroa},2),\;(\text{coroa},\text{cara},2),\;(\text{coroa},\text{coroa},2)\}.

Passo 5

Definição e construção do evento C = [aparecem exatamente uma cara e um número primo].
Primeiro, os números primos entre 1 e 6 são 2,3,5 (observe que 1 não é primo). Então o dado deve estar em \{2,3,5\}.
Segundo, “exatamente uma cara” entre duas moedas significa que temos os dois possíveis arranjos: (\text{cara},\text{coroa}) ou (\text{coroa},\text{cara}).
Combinando, C é
\begin{aligned} C=\{&(\text{cara},\text{coroa},2),(\text{cara},\text{coroa},3),(\text{cara},\text{coroa},5),\\\ &(\text{coroa},\text{cara},2),(\text{coroa},\text{cara},3),(\text{coroa},\text{cara},5)\}. \end{aligned}

Passo 6

(iii)(a) Evento “A e B ocorrem”: isto é A\cap B.
Para calcular a interseção, pegue os elementos de A e verifique quais estão em B. A tem os triplos com (\text{cara},\text{cara}) e dado em \{2,4,6\}; B exige dado 2. A única coincidência é (\text{cara},\text{cara},2).
Portanto
A\cap B=\{(\text{cara},\text{cara},2)\}.

Passo 7

(iii)(b) Evento “somente B ocorre”: isto significa que B ocorre e nem A nem C ocorrem. Em símbolos, "somente B" é B\setminus (A\cup C).
Vamos remover de B os elementos que pertencem a A ou a C.
  • De B = \{(\text{cara},\text{cara},2),(\text{cara},\text{coroa},2),(\text{coroa},\text{cara},2),(\text{coroa},\text{coroa},2)\},
  • os elementos que estão em A ou C são:
    • em A: (\text{cara},\text{cara},2),
    • em C: (\text{cara},\text{coroa},2) e (\text{coroa},\text{cara},2).
      Removendo esses, sobra apenas (\text{coroa},\text{coroa},2).
Logo
\text{somente }B = B\setminus(A\cup C)=\{(\text{coroa},\text{coroa},2)\}.

Passo 8

(iii)(c) Evento “B ou C ocorrem”: isto é B\cup C.
Já temos B com 4 elementos (todos com dado 2) e C com 6 elementos (duas ordens das moedas e dados 2,3,5). A união junta todos sem repetição. Listando todos os elementos distintos:
\begin{aligned} B\cup C=\{&(\text{cara},\text{cara},2),(\text{cara},\text{coroa},2),(\text{coroa},\text{cara},2),(\text{coroa},\text{coroa},2),\\\ &(\text{cara},\text{coroa},3),(\text{cara},\text{coroa},5),(\text{coroa},\text{cara},3),(\text{coroa},\text{cara},5)\}. \end{aligned}
(Observação: os elementos com dado 2 que também aparecem em C foram colocados apenas uma vez na união.)

Resposta

(i) S=\{\text{cara},\text{coroa}\}\times\{\text{cara},\text{coroa}\}\times\{1,2,3,4,5,6\}
(ii) A=\{(\text{cara},\text{cara},2),\;(\text{cara},\text{cara},4),\;(\text{cara},\text{cara},6)\}
B=\{(\text{cara},\text{cara},2),\;(\text{cara},\text{coroa},2),\;(\text{coroa},\text{cara},2),\;(\text{coroa},\text{coroa},2)\}
C=\{(\text{cara},\text{coroa},2),(\text{cara},\text{coroa},3),(\text{cara},\text{coroa},5),(\text{coroa},\text{cara},2),(\text{coroa},\text{cara},3),(\text{coroa},\text{cara},5)\}
(iii)(a) A\cap B=\{(\text{cara},\text{cara},2)\}
(iii)(b) \text{somente }B = B\setminus(A\cup C)=\{(\text{coroa},\text{coroa},2)\}
(iii)(c) B\cup C=\{(\text{cara},\text{cara},2),(\text{cara},\text{coroa},2),(\text{coroa},\text{cara},2),(\text{coroa},\text{coroa},2),(\text{cara},\text{coroa},3),(\text{cara},\text{coroa},5),(\text{coroa},\text{cara},3),(\text{coroa},\text{cara},5)\}

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