Lance duas moedas e um dado.
(i) Descreva o espaço amostral
conveniente.
(ii) Expresse claramente os seguintes eventos:
[aparecem duas caras e um número par }, B=) {aparece um 2),
(aparecem exatamente uma cara e um número primo].
(iii) Expresse claramente o evento em que (a) A e B ocorrem (b) somente B ocorre (c) B ou C ocorrem.
(i) Descreva o espaço amostral
(ii) Expresse claramente os seguintes eventos:
(iii) Expresse claramente o evento em que (a) A e B ocorrem (b) somente B ocorre (c) B ou C ocorrem.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (i) descrever um espaço amostral
conveniente para o experimento “lançar duas moedas e um dado”; - (ii) expressar claramente os eventos
-
[aparecem duas caras e um número par], -
[aparece um 2], -
[aparecem exatamente uma cara e um número primo];
-
- (iii) expressar claramente os eventos:
- (a)
e ocorrem, - (b) somente
ocorre, - (c)
ou ocorrem.
- (a)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há duas jogadas de moeda (cada uma tem resultados “cara” ou “coroa”); a ordem das jogadas importa (primeira e segunda moeda).
- Há um lançamento de dado justo com resultados
. - Assim cada resultado do experimento pode ser representado por um triplo
.
Passo 2
Construção do espaço amostral
.
Explicação didática rápida: quando temos vários dispositivos independentes (aqui: moeda 1, moeda 2 e dado), o espaço amostral do experimento composto é o produto cartesiano dos espaços de cada dispositivo. Para a moeda o espaço é
e para o dado é
. Portanto o espaço amostral conveniente é
Se quiser ver explicitamente, são
resultados; listando-os por blocos de face das moedas:
Passo 3
Definição e construção do evento
= [aparecem duas caras e um número par].
Primeiro, “duas caras” significa que tanto a primeira quanto a segunda moeda resultam em
; isso restringe as duas primeiras coordenadas do triplo a
.
Segundo, “número par” no dado significa
.
Logo
é o conjunto de todos os triplos com moedas ambas caras e dado par:
Expliquei cada passo: escolha das faces das moedas e escolha dos valores pares do dado.
Passo 4
Definição e construção do evento
= [aparece um 2].
Aqui a condição é apenas sobre o dado: o valor do dado deve ser
, sem restrição sobre as moedas. Como a ordem das moedas importa, temos todas as combinações das moedas com o dado igual a
:
Passo 5
Definição e construção do evento
= [aparecem exatamente uma cara e um número primo].
Primeiro, os números primos entre
e
são
(observe que
não é primo). Então o dado deve estar em
.
Segundo, “exatamente uma cara” entre duas moedas significa que temos os dois possíveis arranjos:
ou
.
Combinando,
é
Passo 6
(iii)(a) Evento “A e B ocorrem”: isto é
.
Para calcular a interseção, pegue os elementos de
e verifique quais estão em
.
tem os triplos com
e dado em
;
exige dado
. A única coincidência é
.
Portanto
Passo 7
(iii)(b) Evento “somente B ocorre”: isto significa que
ocorre e nem
nem
ocorrem. Em símbolos, "somente
" é
.
Vamos remover de
os elementos que pertencem a
ou a
.
- De
= , - os elementos que estão em
ou são: - em
: , - em
: e .
Removendo esses, sobra apenas.
- em
Logo
Passo 8
(iii)(c) Evento “B ou C ocorrem”: isto é
.
Já temos
com 4 elementos (todos com dado
) e
com 6 elementos (duas ordens das moedas e dados
). A união junta todos sem repetição. Listando todos os elementos distintos:
(Observação: os elementos com dado
que também aparecem em
foram colocados apenas uma vez na união.)
Resposta
(i)
(ii)
(iii)(a)
(iii)(b)
(iii)(c)