3.30 Uma moeda é viciada, de maneira que as caras são 3 vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Encontre
e
.
Passo 1
O enunciado diz que a moeda é viciada de modo que as caras (heads) são 3 vezes mais prováveis que as coroas (tails). O que o problema pede é:
- Encontrar
(probabilidade de sair cara). - Encontrar
(probabilidade de sair coroa).
Informações relevantes fornecidas:
- Há apenas dois resultados possíveis:
e . - Foi dado que
é 3 vezes , isto é . - As probabilidades dos resultados exaustivos somam
: .
Passo 2
Vamos traduzir as informações para variáveis e equações. Defina:
-
, -
.
A condição dada vira a equação
A condição de que as probabilidades somam
é
Agora temos um sistema simples de duas equações lineares em
e
.
Passo 3
Substituímos
da primeira equação na segunda para resolver
. Substituição:
Somando os termos semelhantes no lado esquerdo:
Isolando
:
Como
, já encontramos
.
Passo 4
Agora obtemos
usando
. Substituindo
:
Portanto
e
.
Passo 5
Breve explicação didática (como aplicar isso na prova): quando um enunciado dá uma relação de proporcionalidade entre probabilidades (por exemplo “A é
vezes mais provável que B”), uma estratégia prática é:
- atribuir pesos proporcionais, aqui pesos
para e para ; - normalizar dividindo cada peso pela soma dos pesos:
, .
Isso dá resultados rápidos sem precisar montar sistema longo.