3.30 Uma moeda é viciada, de maneira que as caras são 3 vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Encontre P(\mathrm{H}) e P(\mathrm{~T}).

Passo 1

O enunciado diz que a moeda é viciada de modo que as caras (heads) são 3 vezes mais prováveis que as coroas (tails). O que o problema pede é:
  • Encontrar P(\mathrm{H}) (probabilidade de sair cara).
  • Encontrar P(\mathrm{T}) (probabilidade de sair coroa).
Informações relevantes fornecidas:
  • Há apenas dois resultados possíveis: \mathrm{H} e \mathrm{T}.
  • Foi dado que P(\mathrm{H}) é 3 vezes P(\mathrm{T}), isto é P(\mathrm{H}) = 3\cdot P(\mathrm{T}).
  • As probabilidades dos resultados exaustivos somam 1: P(\mathrm{H}) + P(\mathrm{T}) = 1.

Passo 2

Vamos traduzir as informações para variáveis e equações. Defina:
  • p = P(\mathrm{H}),
  • q = P(\mathrm{T}).
A condição dada vira a equação
p = 3q.
A condição de que as probabilidades somam 1 é
p+q=1.
Agora temos um sistema simples de duas equações lineares em p e q.

Passo 3

Substituímos p da primeira equação na segunda para resolver q. Substituição:
(3q)+q=1.
Somando os termos semelhantes no lado esquerdo:
4q=1.
Isolando q:
q=\frac{1}{4}.
Como q=P(\mathrm{T}), já encontramos P(\mathrm{T}).

Passo 4

Agora obtemos p usando p=3q. Substituindo q=\dfrac{1}{4}:
p=3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Portanto P(\mathrm{H})=\dfrac{3}{4} e P(\mathrm{T})=\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Breve explicação didática (como aplicar isso na prova): quando um enunciado dá uma relação de proporcionalidade entre probabilidades (por exemplo “A é a vezes mais provável que B”), uma estratégia prática é:
  • atribuir pesos proporcionais, aqui pesos 3 para \mathrm{H} e 1 para \mathrm{T};
  • normalizar dividindo cada peso pela soma dos pesos: P(\mathrm{H})=\dfrac{3}{3+1}, P(\mathrm{T})=\dfrac{1}{3+1}.
    Isso dá resultados rápidos sem precisar montar sistema longo.

Resposta

P(\mathrm{H})=\dfrac{3}{4}
P(\mathrm{T})=\dfrac{1}{4}

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