9-33 The u velocity component of a steady, two-dimensional, incompressible flow field is u=3 a x^{2}-2 b x y, where a and b are constants. Velocity component v is unknown. Generate an expression for v as a function of x and y.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informações fornecidas:
    • Fluxo bidimensional, estacionário e incompressível.
    • Componente de velocidade u dada por u=3 a x^{2}-2 b x y, onde a e b são constantes.
  • O que é pedido:
    • Encontrar a componente de velocidade v como função de x e y.

Passo 2

Qual equação usar? Para um escoamento incompressível bidimensional (variáveis x,y) a conservação de massa (continuidade) impõe:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Explicando: essa equação diz que a divergência do campo de velocidade é zero — o que significa que o fluido não se comprime localmente. Nela, u(x,y) e v(x,y) são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente, e as derivadas parciais representam as taxas de variação locais.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}. Pegando u=3 a x^{2}-2 b x y, derivamos termo a termo relativamente a x (tratando y como constante):
  • Derivada de 3 a x^{2} em relação a x é 6 a x.
  • Derivada de -2 b x y em relação a x é -2 b y (porque y é constante nessa derivação).
    Logo,
\frac{\partial u}{\partial x}=6 a x-2 b y.

Passo 4

Substituir na equação de continuidade para obter \dfrac{\partial v}{\partial y}:
\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial u}{\partial x}=-\bigl(6 a x-2 b y\bigr)=-6 a x+2 b y.
Interpretação rápida: essa é a taxa de variação de v com y que garante divergência nula.

Passo 5

Integrar em y para obter v(x,y). Ao integrar \dfrac{\partial v}{\partial y} em relação a y obtemos v até uma “constante” de integração que pode depender de x:
v(x,y)=\int\bigl(-6 a x+2 b y\bigr)\,dy=-6 a x\,y + b y^{2} + f(x),
onde f(x) é uma função arbitrária de x (a “constante” de integração pode depender de x porque a integração foi feita em y).

Passo 6

Por que aparece f(x)? Ao integrar em y, qualquer função que dependa apenas de x tem derivada nula em relação a y, então não seria detectada pela equação \partial v/\partial y. Para determinar f(x) é preciso uma condição adicional (por exemplo condição de contorno: valor de v numa linha y= const, ou condição de circulação, etc.). Sem essas condições, a solução geral é a que inclui f(x).

Passo 7

Cheque rápido que a solução satisfaz a continuidade. Calcular \partial v/\partial y a partir de v(x,y)=-6 a x y + b y^{2}+f(x):
\frac{\partial v}{\partial y}=-6 a x + 2 b y,
que é exatamente o negativo de \partial u/\partial x calculado antes, logo \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0 — ótimo, conservação de massa satisfeita.

Passo 8

Observação prática para prova: se o enunciado fornecer uma condição como v(x,0)=0, basta aplicar y=0 em v para achar f(x). Por exemplo, com v(x,0)=0 tem-se 0=0+0+f(x)\Rightarrow f(x)=0, e então v=-6 a x y+b y^{2}. Se nenhuma condição for dada, deixe f(x) explícita como parte da solução geral.

Resposta

v(x,y)=-6 a x y + b y^{2} + f(x)

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