9-33 The
velocity component of a steady, two-dimensional, incompressible flow field is
, where
and
are constants. Velocity component
is unknown. Generate an expression for
as a function of
and
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informações fornecidas:
- Fluxo bidimensional, estacionário e incompressível.
- Componente de velocidade
dada por , onde e são constantes.
- O que é pedido:
- Encontrar a componente de velocidade
como função de e .
- Encontrar a componente de velocidade
Passo 2
Qual equação usar? Para um escoamento incompressível bidimensional (variáveis
) a conservação de massa (continuidade) impõe:
Explicando: essa equação diz que a divergência do campo de velocidade é zero — o que significa que o fluido não se comprime localmente. Nela,
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente, e as derivadas parciais representam as taxas de variação locais.
Passo 3
Calcular
. Pegando
, derivamos termo a termo relativamente a
(tratando
como constante):
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (porque é constante nessa derivação).
Logo,
Passo 4
Substituir na equação de continuidade para obter
:
Interpretação rápida: essa é a taxa de variação de
com
que garante divergência nula.
Passo 5
Integrar em
para obter
. Ao integrar
em relação a
obtemos
até uma “constante” de integração que pode depender de
:
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração pode depender de
porque a integração foi feita em
).
Passo 6
Por que aparece
? Ao integrar em
, qualquer função que dependa apenas de
tem derivada nula em relação a
, então não seria detectada pela equação
. Para determinar
é preciso uma condição adicional (por exemplo condição de contorno: valor de
numa linha
const, ou condição de circulação, etc.). Sem essas condições, a solução geral é a que inclui
.
Passo 7
Cheque rápido que a solução satisfaz a continuidade. Calcular
a partir de
:
que é exatamente o negativo de
calculado antes, logo
— ótimo, conservação de massa satisfeita.
Passo 8
Observação prática para prova: se o enunciado fornecer uma condição como
, basta aplicar
em
para achar
. Por exemplo, com
tem-se
, e então
. Se nenhuma condição for dada, deixe
explícita como parte da solução geral.