9-35 The
velocity component of a steady, two-dimensional, incompressible flow field is
, where
and
are constants. Velocity component
is unknown. Generate an expression for
as a function of
and
.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- A componente de velocidade horizontal é
, onde e são constantes. - A componente de velocidade vertical
é desconhecida. - A questão pede: gerar uma expressão para
como função de e .
Esses são todos os dados e o que se pede. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos usar a condição matemática que relaciona
e
no fluxo incompressível bidimensional (vou explicar por que essa condição vale).
Considere um pequeno retângulo de fluido com lados e
. A massa que entra e sai por cada face, por conservação de massa (no caso incompressível a densidade é constante), leva à equação
Considere um pequeno retângulo de fluido com lados
Explicando em palavras:
mede a variação (taxa) do fluxo horizontal por unidade de comprimento em
;
mede a variação do fluxo vertical por unidade de comprimento em
. Para que não haja ganho ou perda de massa no elemento, a soma deve ser zero. Essa é a equação que vamos usar.
Passo 3
Agora calcule a derivada parcial de
em relação a
usando a expressão dada:
Aqui
e
são constantes, então a derivada de
em
é
e a derivada de
é zero.
Passo 4
Substituindo
na equação de continuidade obtemos:
Isolando a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Integramos a equação
em relação a
para obter
. Ao integrar uma derivada parcial em
, a “constante” de integração pode depender de
(pois a derivada parcial em
anula qualquer função que dependa só de
). Assim:
onde
é uma função arbitrária de
(forma tradicional de escrever a “constante” de integração que pode variar com
). Em palavras: a continuidade determina a dependência de
em
(é linear em
), mas deixa livre uma contribuição que depende apenas de
.
Passo 6
Interpretação prática e exemplos:
-
é determinada por condições de contorno ou por outras equações (por exemplo, condições de velocidade numa parede, simetria, ou ainda condições de movimento no eixo ). Sem essas condições adicionais não é possível fixar . - Exemplos simples:
- Se for dado que
para todo , então implica , logo . - Se for dado que
é independente de (ou seja, não varia com ), então é uma constante e .
- Se for dado que
- Em provas, normalmente você deixa
explícita e menciona que precisa de condições de contorno para determiná-la.