9-35 The u velocity component of a steady, two-dimensional, incompressible flow field is u=a x+b, where a and b are constants. Velocity component v is unknown. Generate an expression for v as a function of x and y.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A componente de velocidade horizontal é u=a x + b, onde a e b são constantes.
  • A componente de velocidade vertical v é desconhecida.
  • A questão pede: gerar uma expressão para v como função de x e y.
Esses são todos os dados e o que se pede. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos usar a condição matemática que relaciona u e v no fluxo incompressível bidimensional (vou explicar por que essa condição vale).
Considere um pequeno retângulo de fluido com lados \mathrm{d}x e \mathrm{d}y. A massa que entra e sai por cada face, por conservação de massa (no caso incompressível a densidade é constante), leva à equação
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Explicando em palavras: \partial u/\partial x mede a variação (taxa) do fluxo horizontal por unidade de comprimento em x; \partial v/\partial y mede a variação do fluxo vertical por unidade de comprimento em y. Para que não haja ganho ou perda de massa no elemento, a soma deve ser zero. Essa é a equação que vamos usar.

Passo 3

Agora calcule a derivada parcial de u em relação a x usando a expressão dada:
u=a x + b \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=a.
Aqui a e b são constantes, então a derivada de a x em x é a e a derivada de b é zero.

Passo 4

Substituindo \partial u/\partial x na equação de continuidade obtemos:
a + \frac{\partial v}{\partial y}=0.
Isolando a derivada de v em relação a y:
\frac{\partial v}{\partial y}=-a.

Passo 5

Integramos a equação \partial v/\partial y=-a em relação a y para obter v. Ao integrar uma derivada parcial em y, a “constante” de integração pode depender de x (pois a derivada parcial em y anula qualquer função que dependa só de x). Assim:
v(x,y)=\int -a\,\mathrm{d}y = -a y + F(x),
onde F(x) é uma função arbitrária de x (forma tradicional de escrever a “constante” de integração que pode variar com x). Em palavras: a continuidade determina a dependência de v em y (é linear em y), mas deixa livre uma contribuição que depende apenas de x.

Passo 6

Interpretação prática e exemplos:
  • F(x) é determinada por condições de contorno ou por outras equações (por exemplo, condições de velocidade numa parede, simetria, ou ainda condições de movimento no eixo x). Sem essas condições adicionais não é possível fixar F(x).
  • Exemplos simples:
    • Se for dado que v(x,0)=0 para todo x, então 0 = -a\cdot 0 + F(x) implica F(x)=0, logo v(x,y)=-a y.
    • Se for dado que v é independente de x (ou seja, não varia com x), então F(x) é uma constante C e v(x,y)=-a y + C.
  • Em provas, normalmente você deixa F(x) explícita e menciona que precisa de condições de contorno para determiná-la.

Resposta

v(x,y) = -a\,y + F(x)

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