(2) As molas
e
tem rigidez
e
, respectivamente, e as duas molas tem um comprimento não deformado de 600 mm . Se o anel liso de 2 kg parte do repouso quando as molas não estão deformadas, determine a velocidade do anel quando ele tiver se deslocado 200 mm .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores mostrados na figura e no enunciado):
- Rigidez da mola esquerda:
. - Rigidez da mola direita:
. - Comprimento não deformado de cada mola:
(informação de posição inicial; as molas não estão deformadas no início). - Massa do anel:
. - Força aplicada ao anel:
dirigida para a direita e para cima formando ângulo de com a horizontal (conforme figura). - O anel parte do repouso quando as molas não estão deformadas.
- O anel desloca-se horizontalmente uma distância
para a direita.
O que se pede: - Determinar a velocidade do anel quando ele tiver se deslocado
.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (por que usar energia):
- Aqui temos molas (energia potencial elástica) e uma força externa constante que realiza trabalho. Não há atrito (anel liso), o que torna o método energia (teorema trabalho-energia) muito direto: o trabalho da força aplicada é convertido em energia potencial das molas e em energia cinética do anel.
- Fórmula que vamos usar (teorema trabalho-energia): o trabalho total realizado sobre a massa entre os estados inicial e final é igual à variação da energia cinética. Quando houver troca com energia potencial elástica, usamos:
- Nesta situação inicial a energia cinética e as energias elásticas são conhecidas (inicialmente zero para ambas), então isolamos
a partir da equação acima. Isso evita ter de montar equações de forças e aceleração variáveis.
Passo 3
Expressar a energia armazenada nas molas quando o anel desloca
e justificar sinais:
- Quando o anel se desloca
para a direita: - A mola esquerda (presa em
) é esticada por (extensão positiva ). - A mola direita (presa em
) é comprimida por (a deformação em módulo também é ).
- A mola esquerda (presa em
- Energia potencial elástica de uma mola linear: para uma mola com constante
e deformação (alongamento ou compressão) ,
onde
é a rigidez (N/m) e
é a variação do comprimento (m). O quadrado faz com que não importe se é compressão ou tração, apenas o módulo da deformação.
- Portanto a variação total de energia potencial das duas molas ao deslocar
(como inicialmente estavam sem deformação) é
Passo 4
Calcular o trabalho realizado pela força
ao deslocar o anel horizontalmente
:
- A força tem componente horizontal
. Apenas a componente na direção do deslocamento realiza trabalho sobre o anel (o anel está restrito ao movimento horizontal). - Trabalho de uma força constante que tem componente na direção do deslocamento:
- Substituindo numericamente:
. Então
- Logo o trabalho para
é
Passo 5
Aplicar o balanço energia (trabalho = variação de energia potencial + variação de energia cinética) e resolver para
:
- Equação de energia entre instante inicial (molas sem deformação, anel em repouso) e o instante final (deslocamento
, velocidade ):
- Como inicialmente
e , temos e . Substituindo:
- Isolando
:
- Agora substituímos os valores numéricos (lembrando
, , , ):
- Calcular o termo das molas:
- Portanto
- Logo
Passo 6
Arredondamento e interpretação final:
- Arredondando para dois algarismos significativos na casa decimal conveniente, obtemos
- Interpretação rápida: parte do trabalho realizado pela força foi consumido para deformar as molas (
) e o restante virou energia cinética do anel ( ), resultando em velocidade aproximadamente .