(2) As molas A B e C D tem rigidez k_{A B}=300 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e K_{C D}=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, respectivamente, e as duas molas tem um comprimento não deformado de 600 mm . Se o anel liso de 2 kg parte do repouso quando as molas não estão deformadas, determine a velocidade do anel quando ele tiver se deslocado 200 mm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os valores mostrados na figura e no enunciado):
  • Rigidez da mola esquerda: k_{AB}=300\\ \mathrm{N/m}.
  • Rigidez da mola direita: K_{CD}=200\\ \mathrm{N/m}.
  • Comprimento não deformado de cada mola: 600\\ \mathrm{mm} (informação de posição inicial; as molas não estão deformadas no início).
  • Massa do anel: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Força aplicada ao anel: F=150\\ \mathrm{N} dirigida para a direita e para cima formando ângulo de 30^\circ com a horizontal (conforme figura).
  • O anel parte do repouso quando as molas não estão deformadas.
  • O anel desloca-se horizontalmente uma distância x=200\\ \mathrm{mm}=0,200\\ \mathrm{m} para a direita.
    O que se pede:
  • Determinar a velocidade do anel quando ele tiver se deslocado 0,200\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (por que usar energia):
  • Aqui temos molas (energia potencial elástica) e uma força externa constante que realiza trabalho. Não há atrito (anel liso), o que torna o método energia (teorema trabalho-energia) muito direto: o trabalho da força aplicada é convertido em energia potencial das molas e em energia cinética do anel.
  • Fórmula que vamos usar (teorema trabalho-energia): o trabalho total realizado sobre a massa entre os estados inicial e final é igual à variação da energia cinética. Quando houver troca com energia potencial elástica, usamos:
W_{\text{externo}} = \Delta U_{\text{molas}} + \Delta K.
  • Nesta situação inicial a energia cinética e as energias elásticas são conhecidas (inicialmente zero para ambas), então isolamos v a partir da equação acima. Isso evita ter de montar equações de forças e aceleração variáveis.

Passo 3

Expressar a energia armazenada nas molas quando o anel desloca x e justificar sinais:
  • Quando o anel se desloca x para a direita:
    • A mola esquerda (presa em A) é esticada por x (extensão positiva =x).
    • A mola direita (presa em D) é comprimida por x (a deformação em módulo também é x).
  • Energia potencial elástica de uma mola linear: para uma mola com constante k e deformação (alongamento ou compressão) \Delta \ell,
U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k(\Delta \ell)^2,
onde k é a rigidez (N/m) e \Delta\ell é a variação do comprimento (m). O quadrado faz com que não importe se é compressão ou tração, apenas o módulo da deformação.
  • Portanto a variação total de energia potencial das duas molas ao deslocar x (como inicialmente estavam sem deformação) é
\Delta U_{\text{molas}}=\tfrac{1}{2}k_{AB}x^2+\tfrac{1}{2}K_{CD}x^2=\tfrac{1}{2}(k_{AB}+K_{CD})x^2.

Passo 4

Calcular o trabalho realizado pela força F ao deslocar o anel horizontalmente x:
  • A força tem componente horizontal F_x=F\cos 30^\circ. Apenas a componente na direção do deslocamento realiza trabalho sobre o anel (o anel está restrito ao movimento horizontal).
  • Trabalho de uma força constante que tem componente na direção do deslocamento:
W_F = F_x\cdot x = F\cos 30^\circ \cdot x.
  • Substituindo numericamente: \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
F\cos 30^\circ = 150\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathrm{N}\approx 150\cdot 0{,}8660254\\ \mathrm{N}\approx 129{,}904\\ \mathrm{N}.
  • Logo o trabalho para x=0{,}200\\ \mathrm{m} é
W_F = 129{,}904\cdot 0{,}200\\ \mathrm{J}\approx 25{,}9808\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Aplicar o balanço energia (trabalho = variação de energia potencial + variação de energia cinética) e resolver para v:
  • Equação de energia entre instante inicial (molas sem deformação, anel em repouso) e o instante final (deslocamento x, velocidade v):
W_F = \Delta U_{\text{molas}} + \Delta K.
  • Como inicialmente K_i=0 e U_{\text{molas},i}=0, temos \Delta K = \tfrac{1}{2}m v^2 e \Delta U_{\text{molas}}=\tfrac{1}{2}(k_{AB}+K_{CD})x^2. Substituindo:
F\cos 30^\circ\; x = \tfrac{1}{2}(k_{AB}+K_{CD})x^2 + \tfrac{1}{2}m v^2.
  • Isolando \tfrac{1}{2}m v^2:
\tfrac{1}{2}m v^2 = F\cos 30^\circ\; x - \tfrac{1}{2}(k_{AB}+K_{CD})x^2.
  • Agora substituímos os valores numéricos (lembrando x=0{,}200\\ \mathrm{m}, k_{AB}=300\\ \mathrm{N/m}, K_{CD}=200\\ \mathrm{N/m}, m=2\\ \mathrm{kg}):
\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot v^2 = 25{,}9808 - \tfrac{1}{2}\cdot(300+200)\cdot(0{,}200)^2.
  • Calcular o termo das molas:
\tfrac{1}{2}\cdot(300+200)\cdot(0{,}200)^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 500\cdot 0{,}040 = 250\cdot 0{,}040 = 10{,}0\\ \mathrm{J}.
  • Portanto
1\cdot v^2 = 25{,}9808 - 10{,}0 = 15{,}9808.
  • Logo
v = \sqrt{15{,}9808}\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}9976\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final:
  • Arredondando para dois algarismos significativos na casa decimal conveniente, obtemos
v \approx 4{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação rápida: parte do trabalho realizado pela força foi consumido para deformar as molas ( 10{,}0\\ \mathrm{J}) e o restante virou energia cinética do anel ( \approx 15{,}98\\ \mathrm{J}), resultando em velocidade aproximadamente 4{,}00\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v=4{,}00\\ \mathrm{m/s}

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