Problema 15.10
O armário de 10 kg está submetido a uma força \mathrm{F}=5(3+2 \mathrm{t}), onde t está em segundos e F está em Newton. Se o armário está inicialmente descendo o plano com uma velocidade de 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine quanto tempo levará para que a força ponha o armário no estado de repouso. F sempre age paralela ao plano.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o tempo necessário para que a força variável coloque o armário em repouso, dado que ele inicialmente desce o plano com velocidade 1{,}8\\ \text{m/s}.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado e da figura):
  • Massa do armário: m=10\\ \text{kg}.
  • Força aplicada paralela ao plano: F(t)=5(3+2t)\\ \text{N}. Note que peguei exatamente essa expressão do enunciado.
  • Velocidade inicial (no instante t=0): o armário está descendo o plano com rapidez 1{,}8\\ \text{m/s}.
  • Da imagem foi obtido o ângulo do plano inclinado: \theta=21^\circ. (Estou usando esse valor porque a figura do enunciado mostra esse ângulo.)
  • Adotarei g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
Observação importante nesta etapa: não estou resolvendo ainda; apenas listei os dados e o objetivo.

Passo 2

Escolha de sinais e forças atuantes (convenção e identificação das forças).
  • Vou escolher o eixo ao longo do plano e tomar a direção para cima do plano como positiva (essa escolha facilita porque F aponta para cima do plano, segundo a figura).
  • Com essa convenção, a velocidade inicial é negativa, pois o móvel está descendo o plano. Logo: v(0) = -1{,}8\\ \text{m/s}.
  • Forças ao longo do plano:
    • Força aplicada F(t) apontando para cima do plano.
    • Componente do peso paralela ao plano, apontando para baixo: mg\sin\theta.
  • Não há menção a atrito no enunciado, então não consideraremos atrito (somente F e mg\sin\theta).
Fundamento físico que vou usar (explicando passo a passo):
  • Segunda lei de Newton ao longo do eixo do plano diz que a soma algébrica das forças é igual a m vezes a aceleração: \sum F_{\text{eixo}} = m a(t).
  • Aqui \sum F_{\text{eixo}} = F(t) - mg\sin\theta (porque F(t) é para cima e mg\sin\theta para baixo).
  • A aceleração a(t) será então: a(t)=\frac{F(t)-mg\sin\theta}{m}.

Passo 3

Calcular a componente do peso ao longo do plano.
  • A componente do peso paralela ao plano é mg\sin\theta. Substituindo m=10\\ \text{kg}, g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 e \theta=21^\circ (dado da imagem), mg\sin\theta = 10\cdot 9{,}8\cdot \sin 21^\circ = 98\sin 21^\circ.
  • Avaliando numericamente (aproximação de seno): \sin 21^\circ \approx 0{,}358368,então mg\sin\theta \approx 98\cdot 0{,}358368 \approx 35{,}110\\ \text{N}.
Comentário didático curto sobre isso: a decomposição do peso mg em componentes paralela e perpendicular ao plano é uma técnica padrão; usamos a componente paralela porque afeta o movimento ao longo do plano.

Passo 4

Expressar F(t) e obter a força resultante ao longo do plano.
  • Expresse F(t): F(t)=5(3+2t)=15+10t\\ \text{N}.
  • Força resultante ao longo do plano (tomando positivo para cima): F_{\text{res}}(t)=F(t)-mg\sin\theta = (15+10t)-35{,}110.
  • Simplificando numericamente: F_{\text{res}}(t) = -20{,}110 + 10t\\ \text{(N)}.

Passo 5

Encontrar a aceleração a(t).
  • Usando a(t)=F_{\text{res}}(t)/m com m=10\\ \text{kg}, a(t)=\frac{-20{,}110+10t}{10} = -2{,}0110 + t.
  • Escrevendo de forma mais clara: a(t) = t - 2{,}0110\\ \text{m/s}^2.
Didática rápida: aqui a aceleração é uma função do tempo porque F(t) varia com t. Quando a aceleração depende de t, para obter a velocidade precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 6

Integrar a aceleração para obter a velocidade v(t).
  • Relação diferencial: \dfrac{dv}{dt}=a(t)=t-2{,}0110.
  • Integramos desde 0 até t usando v(t)=v(0)+\int_0^t a(\tau)\,d\tau. Com v(0)=-1{,}8\\ \text{m/s}, v(t) = -1{,}8 + \int_0^t (\tau - 2{,}0110)\,d\tau.
  • Calcule a integral: \int_0^t (\tau - 2{,}0110)\,d\tau = \left[\frac{1}{2}\tau^2 - 2{,}0110\,\tau\right]_0^t = \frac{1}{2}t^2 - 2{,}0110\,t.
  • Logo: v(t) = -1{,}8 + \frac{1}{2}t^2 - 2{,}0110\,t.
Explicação didática: a integração transforma taxa de variação (aceleração) em variação da grandeza (velocidade). A constante de integração é fixada pelo valor inicial v(0).

Passo 7

Determinar o instante em que a velocidade se anula.
  • Queremos v(t)=0. Então: 0 = -1{,}8 + \frac{1}{2}t^2 - 2{,}0110\,t.
  • Multiplicando por 2 para simplificar: 0 = t^2 - 4{,}0220\,t - 3{,}6.(observe que 2\cdot 2{,}0110 = 4{,}0220 e 2\cdot 1{,}8 = 3{,}6)
  • Resolvendo a equação quadrática t^2 - 4{,}0220\,t - 3{,}6 = 0 pela fórmula de Bhaskara: t = \frac{4{,}0220 \pm \sqrt{(4{,}0220)^2 + 4\cdot 3{,}6}}{2}.
  • Calcule o discriminante: (4{,}0220)^2 + 14{,}4 \approx 16{,}176 + 14{,}4 = 30{,}576.
\sqrt{30{,}576}\approx 5{,}5296.
  • Assim as raízes são: t = \frac{4{,}0220 \pm 5{,}5296}{2}.
  • Temos duas soluções: t_1 = \frac{4{,}0220 + 5{,}5296}{2} \approx \frac{9{,}5516}{2} \approx 4{,}7758\\ \text{s},
t_2 = \frac{4{,}0220 - 5{,}5296}{2} \approx \frac{-1{,}5076}{2} \approx -0{,}7538\\ \text{s}.
  • A solução física válida é o tempo não negativo, logo: t \approx 4{,}78\\ \text{s}.
Interpretação didática: a raiz negativa não tem sentido físico aqui (seria um instante anterior a t=0). O instante t\approx 4{,}78\\ \text{s} é quando a velocidade passa por zero — o armário pára momentaneamente.

Passo 8

Resumo final e incentivo curto.
  • Concluímos que, com a força dada aumentando no tempo e tomando em conta o peso projetado no plano, o armário para após aproximadamente 4{,}78\\ \text{s}.
  • Força e integração de aceleração são técnicas que caem direto em provas — lembra de sempre: escolha um eixo, escreva as forças, aplique \sum F = m a, e integre se a depender de t. Você está mandando bem por seguir até aqui — dá pra fazer isso na prova!

Resposta

t \approx 4{,}78\\ \text{s}

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