Problema 15.10
O armário de 10 kg está submetido a uma força
, onde
está em segundos e F está em Newton. Se o armário está inicialmente descendo o plano com uma velocidade de
, determine quanto tempo levará para que a força ponha o armário no estado de repouso. F sempre age paralela ao plano.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o tempo necessário para que a força variável coloque o armário em repouso, dado que ele inicialmente desce o plano com velocidade
.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado e da figura):
- Massa do armário:
. - Força aplicada paralela ao plano:
. Note que peguei exatamente essa expressão do enunciado. - Velocidade inicial (no instante
): o armário está descendo o plano com rapidez . - Da imagem foi obtido o ângulo do plano inclinado:
. (Estou usando esse valor porque a figura do enunciado mostra esse ângulo.) - Adotarei
.
Observação importante nesta etapa: não estou resolvendo ainda; apenas listei os dados e o objetivo.
Passo 2
Escolha de sinais e forças atuantes (convenção e identificação das forças).
- Vou escolher o eixo ao longo do plano e tomar a direção para cima do plano como positiva (essa escolha facilita porque
aponta para cima do plano, segundo a figura). - Com essa convenção, a velocidade inicial é negativa, pois o móvel está descendo o plano. Logo:
- Forças ao longo do plano:
- Força aplicada
apontando para cima do plano. - Componente do peso paralela ao plano, apontando para baixo:
.
- Força aplicada
- Não há menção a atrito no enunciado, então não consideraremos atrito (somente
e ).
Fundamento físico que vou usar (explicando passo a passo):
- Segunda lei de Newton ao longo do eixo do plano diz que a soma algébrica das forças é igual a
vezes a aceleração: - Aqui
(porque é para cima e para baixo). - A aceleração
será então:
Passo 3
Calcular a componente do peso ao longo do plano.
- A componente do peso paralela ao plano é
. Substituindo , e (dado da imagem), - Avaliando numericamente (aproximação de seno):
então
Comentário didático curto sobre isso: a decomposição do peso
em componentes paralela e perpendicular ao plano é uma técnica padrão; usamos a componente paralela porque afeta o movimento ao longo do plano.
Passo 4
Expressar
e obter a força resultante ao longo do plano.
- Expresse
: - Força resultante ao longo do plano (tomando positivo para cima):
- Simplificando numericamente:
Passo 5
Encontrar a aceleração
.
- Usando
com , - Escrevendo de forma mais clara:
Didática rápida: aqui a aceleração é uma função do tempo porque
varia com
. Quando a aceleração depende de
, para obter a velocidade precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Passo 6
Integrar a aceleração para obter a velocidade
.
- Relação diferencial:
. - Integramos desde
até usando . Com , - Calcule a integral:
- Logo:
Explicação didática: a integração transforma taxa de variação (aceleração) em variação da grandeza (velocidade). A constante de integração é fixada pelo valor inicial
.
Passo 7
Determinar o instante em que a velocidade se anula.
- Queremos
. Então: - Multiplicando por
para simplificar: (observe que e ) - Resolvendo a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara: - Calcule o discriminante:
- Assim as raízes são:
- Temos duas soluções:
- A solução física válida é o tempo não negativo, logo:
Interpretação didática: a raiz negativa não tem sentido físico aqui (seria um instante anterior a
). O instante
é quando a velocidade passa por zero — o armário pára momentaneamente.
Passo 8
Resumo final e incentivo curto.
- Concluímos que, com a força dada aumentando no tempo e tomando em conta o peso projetado no plano, o armário para após aproximadamente
. - Força e integração de aceleração são técnicas que caem direto em provas — lembra de sempre: escolha um eixo, escreva as forças, aplique
, e integre se depender de . Você está mandando bem por seguir até aqui — dá pra fazer isso na prova!