5.32 Átomos de fósforo devem ser difundidos em uma pastilha de silício usando tratamentos térmicos tanto de pré-deposição quanto de redistribuição; sabe-se que a concentração de fundo de P nesse material à base de silício é de 5 \times 10^{19} átomos / \mathrm{m}^{3}. O tratamento de pré-deposiçãodeve ser conduzido a 950^{\circ} \mathrm{C} durante 45 minutos; a concentração de P na superfície deve ser mantida em um nível constante de 1,5 \times 10^{35} áto \mathrm{mos} / \mathrm{m}^{3}. A difusão de redistribuição será conduzida a 1200^{\circ} \mathrm{C} durante um período de 2,5 \mathrm{~h}. Para a difusão do P no Si , os valores de Q_{d} e D_{0} săo de 3,40 \mathrm{eV} / átomo e 1,1 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, respectivamente.
(a) Calcule o valor de Q_{0}.
(b) Determine o valor de x_{j} para o tratamento de difusăo de redistribuiçăio.
(c) Para o tratamento de redistribuição, calcule, ainda, a posição x na qual a concentraçāo de átomos Pé de 10^{34} \mathrm{~m}^{-3}.

Passo 1

O enunciado trata da difusão de fósforo § em silício (Si) com duas etapas: pré-deposição a 950^\circ\mathrm{C} durante 45 min e redistribuição (drive-in) a 1200^\circ\mathrm{C} durante 2{,}5 h.
Conteúdos que vamos usar:
  • Coeficiente de difusão em função da temperatura:
D(T) = D_0 \exp\!\Bigl(-\frac{Q_d}{k T}\Bigr);
  • Dose introduzida na pré-deposição (fontes infinitas):
\displaystyle Q_0 = 2\,C_s \sqrt{\frac{D_1\,t_1}{\pi}};
  • Perfil após drive-in (distribuição gaussiana):
\displaystyle C(x,t_2) = \frac{Q_0}{\sqrt{\pi\,D_2\,t_2}}\exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{4\,D_2\,t_2}\Bigr).
Dessa forma:
(a) calculamos Q_0,
(b) achamos a profundidade da junção x_j tal que C(x_j)=C_b,
(c) tentamos resolver para x com C(x)=10^{34}\,\mathrm m^{-3}.

Passo 2

Calcular D_1 a 950^\circ\mathrm{C}=950+273=1223 K e em seguida Q_0.
D_1 = 1{,}1\times10^{-4}\exp\!\Bigl(-\frac{3{,}40}{8{,}617\times10^{-5}\times1223}\Bigr)\;\mathrm{m}^2/\mathrm{s}\approx1{,}1\times10^{-18}\;\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Com C_s=1{,}5\times10^{35}\,\mathrm m^{-3} e t_1=45\min=2700 s:
Q_0 \;=\;2\,C_s\sqrt{\frac{D_1\,t_1}{\pi}} \;=\;2\times1{,}5\times10^{35}\sqrt{\frac{1{,}1\times10^{-18}\times2700}{\pi}} \;\approx9{,}23\times10^{27}\,\mathrm m^{-2}.

Passo 3

Calcular D_2 a 1200^\circ\mathrm{C}=1473 K e depois x_j.
D_2 = 1{,}1\times10^{-4}\exp\!\Bigl(-\frac{3{,}40}{8{,}617\times10^{-5}\times1473}\Bigr)\approx2{,}5\times10^{-16}\;\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Para drive-in temos t_2=2{,}5 h =9000 s, C_b=5\times10^{19}\,\mathrm m^{-3} e
\sqrt{\pi\,D_2\,t_2}\approx2{,}676\times10^{-6}\,\mathrm m,\quad \sqrt{4\,D_2\,t_2}=2\sqrt{D_2\,t_2}\approx3{,}018\times10^{-6}\,\mathrm m.
A profundidade da junção satisfaz
C(x_j)=C_b \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q_0}{\sqrt{\pi\,D_2\,t_2}} \exp\!\Bigl(-\frac{x_j^2}{4\,D_2\,t_2}\Bigr) = C_b.
Resolvendo para x_j:
x_j = \sqrt{4\,D_2\,t_2\;\ln\!\Bigl(\frac{Q_0}{C_b\sqrt{\pi\,D_2\,t_2}}\Bigr)} \approx3{,}018\times10^{-6}\sqrt{\ln\!\bigl(6{,}9\times10^{13}\bigr)} \approx1{,}73\times10^{-5}\,\mathrm m =17{,}3\;\mu\mathrm m.

Passo 4

Para achar x onde C(x)=10^{34}\,\mathrm m^{-3}, usaríamos
10^{34} =\frac{Q_0}{\sqrt{\pi\,D_2\,t_2}} \exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{4\,D_2\,t_2}\Bigr).
Isso dá
\ln\!\Bigl(\tfrac{Q_0}{10^{34}\sqrt{\pi D_2 t_2}}\Bigr) =\ln(0{,}345)\approx -1{,}06<0,
logo o argumento do \sqrt{\;} seria negativo e não há solução real. Em outras palavras, a concentração no topo do perfil após drive-in é \tfrac{Q_0}{\sqrt{\pi D_2 t_2}}\approx3{,}45\times10^{33},
que já é menor que 10^{34}. Portanto jamais se atinge 10^{34}\,\mathrm m^{-3}.

Resposta

(a) Q_0 \approx9{,}23\times10^{27}\,\mathrm m^{-2}.
(b) x_j\approx1{,}73\times10^{-5}\,\mathrm m (17,3 µm).
(c) Não existe posição real, pois C(0)<10^{34}\,\mathrm m^{-3}.

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