) Calcule e compare a densidade linear das direções [110] e [111] para BCC.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a densidade linear (número de centros atômicos por unidade de comprimento) ao longo das direções [110] e [111] num cristal cúbico de corpo centrado (BCC). Vamos usar a definição:
\rho = \frac{\text{número de átomos cujos centros estão sobre a direção}}{\text{comprimento da repetição ao longo dessa direção}}.úáãçãçãçã

Passo 2

Para [110]: o vetor de rede associado vai de (0,0,0) a (1,1,0) em coordenadas de rede, com comprimento
L_{110} = a\sqrt{1^2+1^2+0^2} = a\sqrt{2}.
Os centros atômicos sobre esse segmento são apenas os dois átomos de canto em suas extremidades. Logo,
\rho_{110} = \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{a}.

Passo 3

Para [111]: o vetor vai de (0,0,0) a (1,1,1), com comprimento
L_{111} = a\sqrt{1^2+1^2+1^2} = a\sqrt{3}.
Os centros atômicos sobre esse segmento são: os dois de canto nas extremidades e o átomo do corpo no ponto (\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12). Total de 3 átomos. Assim,
\rho_{111} = \frac{3}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{a}.

Passo 4

Comparando,
\rho_{110} = \frac{\sqrt{2}}{a},\quad \rho_{111} = \frac{\sqrt{3}}{a},
e como \sqrt{3}>\sqrt{2}, segue que \rho_{111}>\rho_{110}.

Resposta

\rho_{110} = \dfrac{\sqrt{2}}{a}, \quad \rho_{111} = \dfrac{\sqrt{3}}{a}, \quad e \rho_{111}>\rho_{110}.

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