) Calcule e compare a densidade planar dos planos (100) e (110) para BCC.

Passo 1

O enunciado pede a densidade planar (número de átomos por área do plano) para os planos (100) e (110) numa rede cúbica de corpo centrado (BCC). Para isso precisamos saber onde estão os átomos nesta rede (nos vértices e no corpo do cubo), como contar a contribuição de cada átomo que fica exatamente sobre o plano (fração pertencente ao plano) e calcular a área da célula unitária interceptada por cada plano.

Passo 2

Análise do plano (100):
Esse plano é perpendicular ao eixo x e define uma face do cubo de lado a. A área dessa face é
A_{100} = a^2.
Sobre essa face temos quatro átomos nos cantos. Cada átomo de canto é comum a quatro células na face, então cada um contribui com 1/4 para o plano. O átomo do corpo centrado x=\tfrac a2 não pertence ao plano (100) em x=0 nem em x=a. Logo o número total de átomos efetivos por célula no plano é
N_{100} = 4\times\frac14 = 1.
Assim a densidade planar é
\text{PD}_{100} = \frac{N_{100}}{A_{100}} = \frac{1}{a^2}.

Passo 3

Análise do plano (110):
Esse plano intercepta os eixos x e y em a e é paralelo a z. Dentro de uma célula unitária ele recorta um paralelogramo cujos vértices são (a,0,0), (0,a,0), (a,0,a) e (0,a,a). As arestas valem a e a\sqrt2, então
A_{110} = a\,(a\sqrt2) = a^2\sqrt2.
Os quatro átomos de vértice desse paralelogramo estão na rede e cada um fica em quatro paralelogramos vizinhos no mesmo plano, contribuindo com 1/4 cada: total de 4\times\frac14=1. Além disso o átomo do corpo centrado em \bigl(\tfrac a2,\tfrac a2,\tfrac a2\bigr) satisfaz \tfrac a2+\tfrac a2 =a, portanto está exatamente dentro do paralelogramo e conta como 1. Logo
N_{110} = 1 + 1 = 2
e a densidade planar é
\text{PD}_{110} = \frac{N_{110}}{A_{110}} = \frac{2}{a^2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{a^2}.

Passo 4

Comparando
\text{PD}_{100} = \frac{1}{a^2}, \qquad \text{PD}_{110} = \frac{\sqrt2}{a^2},
vemos que
\frac{\text{PD}_{110}}{\text{PD}_{100}} = \sqrt2 \approx 1,414 > 1.
Portanto o plano (110) é mais densamente povoado de átomos do que o plano (100).

Resposta

\displaystyle \text{PD}_{100}=\frac{1}{a^2},\quad \text{PD}_{110}=\frac{\sqrt2}{a^2}.
O plano (110) apresenta maior densidade planar, pois \text{PD}_{110}/\text{PD}_{100}=\sqrt2.

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