35 Uma trena metálica de 5 m de comprimento é exata a 15^{\circ} \mathrm{C}. Um dia, quando a temperatura ambiente é de 35^{\circ} \mathrm{C}, é medido um terreno, com 100 m de comprimento. Qual é o verdadeiro comprimento do terreno, sabendo que \alpha_{\text {trena }}= 4.10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado diz que uma trena metálica tem comprimento nominal 5{,}0\\ \mathrm{m} quando está a 15^\circ\mathrm{C}. Num dia em que a temperatura ambiente é 35^\circ\mathrm{C} usa-se essa trena para medir um terreno e a trena indica que o terreno tem 100{,}0\\ \mathrm{m}. O coeficiente de dilatação linear da trena é \alpha_{\text{trena}} = 4\cdot 10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. A pergunta é: qual é o verdadeiro (real) comprimento do terreno, levando em conta a dilatação da trena?
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Comprimento nominal da trena: } L_0 = 5{,}0\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Temperatura de referência: } T_0 = 15^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Temperatura de uso: } T = 35^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Comprimento indicado do terreno pela trena: } L_{\text{ind}} = 100{,}0\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Coeficiente de dilatação: } \alpha = 4\cdot 10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} \end{aligned}êçã

Passo 2

Conceito e fórmula: quando um corpo metálico sofre variação de temperatura, seu comprimento varia segundo a dilatação linear. A fórmula básica é
\Delta L = L_0 \alpha \Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (em metros);
  • L_0 é o comprimento inicialmente considerado (em metros);
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (em ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}), isto é, \Delta T = T - T_0.
A partir daí o comprimento à temperatura T é
L(T) = L_0 + \Delta L = L_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).
Explicando em palavras: cada segmento marcado na trena aumenta na mesma proporção 1+\alpha\Delta T. Então qualquer medida feita com a trena à temperatura T será multiplicada por esse mesmo fator em relação à medida nominal.

Passo 3

Calculemos a variação de temperatura:
\Delta T = T - T_0 = 35^\circ\mathrm{C} - 15^\circ\mathrm{C} = 20^\circ\mathrm{C}.
Calculemos o fator de alongamento da trena:
1 + \alpha\,\Delta T = 1 + \bigl(4\cdot 10^{-4}\bigr)\cdot 20.
Façamos a conta passo a passo:
\bigl(4\cdot 10^{-4}\bigr)\cdot 20 = 4\cdot 20\cdot 10^{-4} = 80\cdot 10^{-4} = 0{,}008.
Portanto
1 + \alpha\,\Delta T = 1 + 0{,}008 = 1{,}008.

Passo 4

Interpretação prática da medição: quando a trena está a 35^\circ\mathrm{C} cada segmento nominal de 5{,}0\\ \mathrm{m} já vale fisicamente
L_{\text{segmento}} = L_0(1+\alpha\Delta T) = 5{,}0\cdot 1{,}008 = 5{,}04\\ \mathrm{m}.
Quem mediu o terreno leu 100{,}0\\ \mathrm{m} na trena. Isso corresponde a usar 100{,}0/5{,}0 = 20 segmentos nominais de 5{,}0\\ \mathrm{m}. Cada um desses segmentos, na temperatura atual, vale 5{,}04\\ \mathrm{m} de comprimento real. Assim o comprimento verdadeiro do terreno é
L_{\text{verdadeiro}} = 20 \times 5{,}04\\ \mathrm{m} = 100{,}8\\ \mathrm{m}.
Uma forma direta é multiplicar a indicação da trena pelo fator de alongamento:
L_{\text{verdadeiro}} = L_{\text{ind}}\,(1+\alpha\Delta T) = 100{,}0 \times 1{,}008 = 100{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resumo final e comentário rápido de incentivo: a trena esticou-se com o calor, então quando ela marcou 100{,}0\\ \mathrm{m} o terreno era na verdade um pouco maior: 100{,}8\\ \mathrm{m}. Isso é um efeito pequeno, mas em medições longas pode fazer diferença — ótima observação do professor! Você já foi bem ao identificar todos os dados; agora é só decorar a ideia de multiplicar pela razão 1+\alpha\Delta T quando a escala do instrumento se dilata.

Resposta

100{,}8\\ \mathrm{m}

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