32. Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas e pressupostos:
é uma constante (assumimos
para evitar degenerações) e a integração é em relação a
. O objetivo é encontrar uma expressão
tal que
.
Passo 2
Uma técnica simples e muito útil é reescrever o numerador
como uma combinação envolvendo o denominador
. Observe que
Substituindo na integral temos
Agora separamos a fração em duas parcelas:
Portanto reduzimos o problema a calcular duas integrais mais simples:
Passo 3
Calcular
.
Uma forma direta é usar a substituição hiperbólica
. Então
e
Assim
Voltando a
, como
temos
. Usando a identidade
obtemos
onde
é constante (absorve o
). Portanto uma antiderivada conveniente é
Passo 4
Calcular
.
Aqui usamos a observação de que a derivada de uma função simples produz essa potência no denominador. Considere
Vamos derivar
. Usando quociente ou regra do produto (escrever
) temos
Simplificando:
Portanto
Assim uma antiderivada de
é
Passo 5
Agora juntamos
e
conforme a decomposição do Passo 2:
Substituindo as antiderivadas encontradas:
Simplificando o termo com
:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, útil para a prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Seja
Derivando a primeira parte dá
. Derivando a segunda parte já fizemos no Passo 4 que
Portanto
que é exatamente o integrando. Tudo confere.