32. Calcule

\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}\,dx.
Informações dadas e pressupostos: a é uma constante (assumimos a\neq0 para evitar degenerações) e a integração é em relação a x. O objetivo é encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.

Passo 2

Uma técnica simples e muito útil é reescrever o numerador x^{2} como uma combinação envolvendo o denominador x^{2}+a^{2}. Observe que
x^{2}=(x^{2}+a^{2})-a^{2}.
Substituindo na integral temos
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx = \int \frac{(x^{2}+a^{2})-a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx.
Agora separamos a fração em duas parcelas:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx - a^{2}\int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx.
Portanto reduzimos o problema a calcular duas integrais mais simples:
I_1=\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx \quad\text{e}\quad I_2=\int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx.

Passo 3

Calcular I_1=\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx.
Uma forma direta é usar a substituição hiperbólica x=a\operatorname{sinh} t. Então dx=a\operatorname{cosh} t\,dt e
\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}t+a^{2}}=a\operatorname{cosh} t.
Assim
I_1=\int \frac{a\operatorname{cosh} t}{a\operatorname{cosh} t}\,dt=\int 1\,dt = t + C.
Voltando a x, como x=a\operatorname{sinh} t temos t=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{a}\right). Usando a identidade \operatorname{arsinh} u=\ln\!\big(u+\sqrt{u^{2}+1}\,\big) obtemos
I_1=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{a}\right)+C =\ln\!\left(\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+1}\right)+C =\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big)+C',
onde C' é constante (absorve o \ln a). Portanto uma antiderivada conveniente é
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx=\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big)+C.

Passo 4

Calcular I_2=\displaystyle\int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx.
Aqui usamos a observação de que a derivada de uma função simples produz essa potência no denominador. Considere
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}.
Vamos derivar f. Usando quociente ou regra do produto (escrever f=x(x^{2}+a^{2})^{-1/2}) temos
f'(x)=1\cdot (x^{2}+a^{2})^{-1/2} + x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+a^{2})^{-3/2}\cdot 2x.
Simplificando:
f'(x)=(x^{2}+a^{2})^{-1/2} - \frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} = \frac{x^{2}+a^{2}-x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} = \frac{a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Portanto
\frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}=\frac{1}{a^{2}}\,f'(x) =\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right).
Assim uma antiderivada de 1/(x^{2}+a^{2})^{3/2} é
\int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx=\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}+C.

Passo 5

Agora juntamos I_1 e I_2 conforme a decomposição do Passo 2:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx = I_1 - a^{2} I_2.
Substituindo as antiderivadas encontradas:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx = \ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big) - a^{2}\cdot\left(\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right) + C.
Simplificando o termo com a^{2}:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}\,dx = \ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big) - \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, útil para a prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Seja
F(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big) - \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}.
Derivando a primeira parte dá \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}. Derivando a segunda parte já fizemos no Passo 4 que
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right)=\frac{a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Portanto
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}-\frac{a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} =\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}},
que é exatamente o integrando. Tudo confere.

Resposta

\displaystyle \ln\!\big(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\big)-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}+C

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