Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - A constante
é positiva: .
O que precisamos encontrar:
- O valor numérico (em função de
) da integral definida acima.
Passo 2
Escolha do método e motivo (explicado como se eu fosse seu colega estudando junto): quando vemos expressões do tipo
sob uma raiz ou potência fracionária, uma escolha padrão e muito prática é a substituição trigonométrica
porque a identidade trigonométrica
faz com que
vire algo com
, que simplifica muito a raiz/potência. Outra alternativa seria usar substituição hiperbólica
; dá o mesmo resultado, mas a trigonométrica costuma ser mais direta para estudantes iniciantes. Vou usar
.
Passo 3
Aplicando a substituição
.
Primeiro, calculamos
. Como
, temos
Agora substituímos
no termo
:
Usando
obtemos
Como a potência é
, temos
Agora vamos explicar como manipular essa potência: para números positivos
e
,
Aqui
é positivo (pois
), então
Calculamos cada parte:
Logo
Passo 4
Substituímos tudo na integral e simplificamos o integrando passo a passo.
A integral original
fica, usando
e
,
Agora simplificamos fatores constantes e potências de
:
Como
, o integrando simplifica para
Portanto, a integral (em termos de
) é
com os limites de integração correspondentes em
(vamos calcular no próximo passo).
Passo 5
Mudança dos limites de integração.
A substituição é
.
- Quando
, temos ⇒ ⇒ . - Quando
, temos ⇒ ⇒ (escolhemos o ângulo no intervalo primário onde a tangente é 1).
Logo os limites em
vão de
a
.
A integral definida torna-se
Passo 6
Calculamos a integral em
.
A primitiva de
é
. Assim
Sabemos que
e
. Portanto
Passo 7
Simplificando o resultado final:
Se preferir, isso também pode ser escrito como
, porque
.