1. \int_{0}^{a} \frac{d x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}} ; a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{a} \frac{dx}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}},\qquad a>0.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}}.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=a.
  • A constante a é positiva: a>0.
O que precisamos encontrar:
  • O valor numérico (em função de a) da integral definida acima.

Passo 2

Escolha do método e motivo (explicado como se eu fosse seu colega estudando junto): quando vemos expressões do tipo a^{2}+x^{2} sob uma raiz ou potência fracionária, uma escolha padrão e muito prática é a substituição trigonométrica
x = a\tan\theta,
porque a identidade trigonométrica
1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta
faz com que a^{2}+x^{2} vire algo com \operatorname{sec}^{2}\theta, que simplifica muito a raiz/potência. Outra alternativa seria usar substituição hiperbólica x=a\operatorname{sinh} u; dá o mesmo resultado, mas a trigonométrica costuma ser mais direta para estudantes iniciantes. Vou usar x=a\tan\theta.

Passo 3

Aplicando a substituição x=a\tan\theta.
Primeiro, calculamos dx. Como x=a\tan\theta, temos
dx = a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Agora substituímos x no termo a^{2}+x^{2}:
a^{2}+x^{2}=a^{2}+a^{2}\tan^{2}\theta = a^{2}(1+\tan^{2}\theta).
Usando 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta obtemos
a^{2}+x^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
Como a potência é (\cdot)^{3/2}, temos
\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}=\left(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\right)^{3/2}.
Agora vamos explicar como manipular essa potência: para números positivos A e B,
(AB)^{3/2}=A^{3/2}B^{3/2}.
Aqui a^{2} é positivo (pois a>0), então
\left(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\right)^{3/2}=(a^{2})^{3/2}(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{3/2}.
Calculamos cada parte:
(a^{2})^{3/2}=a^{3}, \qquad (\operatorname{sec}^{2}\theta)^{3/2}=(\operatorname{sec}\theta)^{3}=\operatorname{sec}^{3}\theta.
Logo
\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}=a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta.

Passo 4

Substituímos tudo na integral e simplificamos o integrando passo a passo.
A integral original
\int_{0}^{a} \frac{dx}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}
fica, usando dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e \left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}=a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta,
\int \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta}.
Agora simplificamos fatores constantes e potências de \operatorname{sec}\theta:
\frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta}{a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta}=\frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta} =\frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{1}{\operatorname{sec}\theta}.
Como 1/\operatorname{sec}\theta=\cos\theta, o integrando simplifica para
\frac{1}{a^{2}}\cos\theta.
Portanto, a integral (em termos de \theta) é
\int \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}} = \frac{1}{a^{2}}\int \cos\theta\,d\theta,
com os limites de integração correspondentes em \theta (vamos calcular no próximo passo).

Passo 5

Mudança dos limites de integração.
A substituição é x=a\tan\theta.
  • Quando x=0, temos 0=a\tan\theta \tan\theta=0 \theta=0.
  • Quando x=a, temos a=a\tan\theta \tan\theta=1 \theta=\pi/4 (escolhemos o ângulo no intervalo primário onde a tangente é 1).
Logo os limites em \theta vão de 0 a \pi/4.
A integral definida torna-se
\int_{0}^{a} \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}} = \frac{1}{a^{2}}\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\,d\theta.

Passo 6

Calculamos a integral em \theta.
A primitiva de \cos\theta é \sin\theta. Assim
\frac{1}{a^{2}}\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\,d\theta = \frac{1}{a^{2}}\left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{a^{2}}\big(\sin(\pi/4)-\sin 0\big).
Sabemos que \sin 0=0 e \sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
\frac{1}{a^{2}}\big(\sin(\pi/4)-\sin 0\big) = \frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Simplificando o resultado final:
\frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2a^{2}}.
Se preferir, isso também pode ser escrito como \dfrac{1}{a^{2}\sqrt{2}}, porque \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2a^{2}}

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