Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}} d x ; x=3 \operatorname{sec} \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx
usando a substituição indicada x=3\operatorname{sec}\theta. Também pede que se esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado à substituição.
Informações dadas:
x=3\operatorname{sec}\theta
e a integral original \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx.
A tarefa é efetuar a substituição, integrar em \theta, voltar para x e apresentar o triângulo com legendas.

Passo 2

Calculemos a diferencial dx da substituição e simplifiquemos a raiz que aparece no denominador.
Derivando x=3\operatorname{sec}\theta em relação a \theta obtemos
dx = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Agora simplificamos a raiz usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^2\theta-1=\tan^2\theta:
\sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{(3\operatorname{sec}\theta)^{2}-9}=\sqrt{9\operatorname{sec}^{2}\theta-9}=\sqrt{9(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)}.
Como \sqrt{9(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)}=3\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1} e \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=|\tan\theta|, para escolhermos um ramo conveniente tomamos \theta tal que \tan\theta\ge 0 (isto corresponde, por exemplo, a x>3). Assim ficamos com
\sqrt{x^{2}-9}=3\tan\theta.

Passo 3

Substituímos x e dx na integral original. Usando as expressões achadas:
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx = \int \frac{1}{3\tan\theta}\cdot \bigl(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr).
Cancele 3 e \tan\theta:
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx=\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora devemos calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou mostrar o truque clássico (multiplicar por \frac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}) que dá uma primitiva simples.
Escrevemos
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \operatorname{sec}\theta\cdot\frac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Agora faça a substituição auxiliar u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta. Calculamos du:
du=(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta.
Portanto o numerador da integral é exatamente du, e obtemos
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|+C.

Passo 5

Voltemos para a variável x. Temos \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3} pela substituição x=3\operatorname{sec}\theta. Além disso
\tan\theta=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{\frac{x^{2}-9}{9}}=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3},
onde tomamos a raíz positiva compatível com a escolha de ramo ( x>3). Substituindo em \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| obtemos
\ln\left|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\right| =\ln\left|\frac{x}{3}+\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}\right| =\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}-9}}{3}\right|.
Como \ln\left|\dfrac{x+\sqrt{x^{2}-9}}{3}\right|=\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-9}\right|-\ln 3 e -\ln 3 é apenas uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração C. Assim a primitiva (em forma simplificada) é equivalente àquela que escreverei na resposta final.

Passo 6

Esboço do triângulo retângulo associado à substituição x=3\operatorname{sec}\theta e legendas:
Descrição do triângulo:
  • É um triângulo retângulo com um ângulo agudo \theta.
  • O lado adjacente ao ângulo \theta tem comprimento 3 (porque \operatorname{sec}\theta=\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{adjacente}}=\dfrac{x}{3}).
  • A hipotenusa tem comprimento x (pois \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3}\Rightarrow\text{hipotenusa}=x).
  • O cateto oposto tem comprimento \sqrt{x^{2}-9} (pela relação pitagórica).
Um esboço textual (forma simplificada):
  (hipotenusa = \(x\))
       ________
      |       /
      |      /  (oposto = \(\sqrt{x^{2}-9}\))
      |     /
      |θ__/
(adjacente = 3)
Legendas:
\text{hipotenusa}=x, \text{adjacente}=3, \text{oposto}=\sqrt{x^{2}-9}.
Esse triângulo justifica as relações \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3} e \tan\theta=\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}.

Resposta

\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-9}\right|+C

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