Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}} d x ; x=3 \operatorname{sec} \theta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx
usando a substituição indicada x=3\operatorname{sec}\theta. Também pede que se esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado à substituição.
Informações dadas:
x=3\operatorname{sec}\theta
e a integral original \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}\,dx.
A tarefa é efetuar a substituição, integrar em \theta, voltar para x e apresentar o triângulo com legendas.
Passo 2
Calculemos a diferencial dx da substituição e simplifiquemos a raiz que aparece no denominador.
Derivando x=3\operatorname{sec}\theta em relação a \theta obtemos
Como \sqrt{9(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)}=3\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1} e \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=|\tan\theta|, para escolhermos um ramo conveniente tomamos \theta tal que \tan\theta\ge 0 (isto corresponde, por exemplo, a x>3). Assim ficamos com
\sqrt{x^{2}-9}=3\tan\theta.
Passo 3
Substituímos x e dx na integral original. Usando as expressões achadas:
Agora devemos calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Vou mostrar o truque clássico (multiplicar por \frac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}) que dá uma primitiva simples.
Como \ln\left|\dfrac{x+\sqrt{x^{2}-9}}{3}\right|=\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-9}\right|-\ln 3 e -\ln 3 é apenas uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração C. Assim a primitiva (em forma simplificada) é equivalente àquela que escreverei na resposta final.
Passo 6
Esboço do triângulo retângulo associado à substituição x=3\operatorname{sec}\theta e legendas:
Descrição do triângulo:
É um triângulo retângulo com um ângulo agudo \theta.
O lado adjacente ao ângulo \theta tem comprimento 3 (porque \operatorname{sec}\theta=\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{adjacente}}=\dfrac{x}{3}).
A hipotenusa tem comprimento x (pois \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3}\Rightarrow\text{hipotenusa}=x).
O cateto oposto tem comprimento \sqrt{x^{2}-9} (pela relação pitagórica).
Legendas: \text{hipotenusa}=x, \text{adjacente}=3, \text{oposto}=\sqrt{x^{2}-9}.
Esse triângulo justifica as relações \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{3} e \tan\theta=\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}.