Use o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais dadas.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=4 x{2}-3+\frac{e{-x}}{x}

Passo 1

O problema pede: encontrar uma solução particular da equação diferencial não homogênea
y''+2y'+y=4x^{2}-3+\frac{e^{-x}}{x}.
Informações dadas:
\text{RHS} = 4x^{2}-3+\frac{e^{-x}}{x}.
Não há outras restrições. A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes; queremos apenas uma solução particular (não é pedido o geral, embora ela seja útil para ver que constantes de integração são absorvidas pela solução homogênea).

Passo 2

Primeiro passo de verdade: resolver a equação homogênea associada para obter as duas soluções fundamentais que usaremos no método de variação de parâmetros.
A homogênea é
y''+2y'+y=0.
Formamos o polinômio característico r^{2}+2r+1=0. Esse polinômio fatoriza como (r+1)^{2}=0, então temos raiz real dupla r=-1.
Quando há raiz dupla r=-1, as duas soluções linearly independentes da homogênea são
y_{1}(x)=e^{-x},\qquad y_{2}(x)=x e^{-x}.
Essas duas funções formam uma base do espaço solução da homogênea.

Passo 3

Agora a ideia da variação de parâmetros (versão direta e prática que vamos usar):
  • Procuramos uma solução particular na forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde [u_{1}) e u_{2} são funções a determinar (não constantes).
  • Impomos o sistema auxiliar padrão
\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=g(x), \end{cases}
onde g(x)\] é o lado direito da equação (aqui \(g(x)=4x^{2}-3+\dfrac{e^{-x}}{x}). Esse sistema garante que ao substituir y_{p} na equação original sobram apenas expressões envolvendo u_{1}' e u_{2}', que determinamos.
  • As fórmulas fechadas resultantes (obtidas resolvendo o sistema acima usando o wronskiano) são
u_{1}'(x)=-\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
onde o wronskiano é
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Explico rapidamente: o wronskiano mede se y_{1},y_{2} são independentes (aqui não são zero), e as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' vêm de resolver o sistema linear 2×2 em u_{1}' e u_{2}'.]

Passo 4

Calcular o wronskiano e as derivadas necessárias para nossas y_{1},y_{2}.
Temos y_{1}=e^{-x}, então y_{1}'=-e^{-x}.
Temos y_{2}=x e^{-x}. Derivando:
y_{2}'=(x e^{-x})' = e^{-x}-x e^{-x}=(1-x)e^{-x}.
Calculemos o wronskiano:
W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{-x}\cdot(1-x)e^{-x}-(-e^{-x})\cdot x e^{-x}.
Fatorando e^{-2x}:
W(x)=e^{-2x}\bigl(1-x + x\bigr)=e^{-2x}.
Portanto W(x)=e^{-2x}, que nunca é zero (ótimo).

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas para u_{1}' e u_{2}'. Lembre que g(x)=4x^{2}-3+\dfrac{e^{-x}}{x}.
Usando as fórmulas:
u_{1}'(x)=-\frac{g(x)\,y_{2}(x)}{W(x)} =-\frac{\bigl(4x^{2}-3+\dfrac{e^{-x}}{x}\bigr)\cdot x e^{-x}}{e^{-2x}}.
Simplificando e^{-x}/e^{-2x}=e^{x} e cancelando x quando possível:
u_{1}'(x)=-x e^{x}\bigl(4x^{2}-3+\tfrac{e^{-x}}{x}\bigr) =-x e^{x}(4x^{2}-3)-x e^{x}\cdot\frac{e^{-x}}{x}.
O último termo simplifica para 1. Portanto
u_{1}'(x)=-1 - x e^{x}(4x^{2}-3).
Agora u_{2}':
u_{2}'(x)=\frac{g(x)\,y_{1}(x)}{W(x)} =\frac{\bigl(4x^{2}-3+\dfrac{e^{-x}}{x}\bigr)\cdot e^{-x}}{e^{-2x}} =e^{x}\bigl(4x^{2}-3+\tfrac{e^{-x}}{x}\bigr).
Novamente o último termo dá 1/x. Assim
u_{2}'(x)=e^{x}(4x^{2}-3)+\frac{1}{x}.

Passo 6

Integramos u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Observação prática: quaisquer constantes de integração podem ser colocadas zero porque contribuem apenas com múltiplos das soluções homogêneas (absorvidos na solução geral). Então tomamos antiderivadas particulares sem constantes.
Primeiro u_{1}:
u_{1}'(x)=-1 - x e^{x}(4x^{2}-3).
Integramos termo a termo:
\int -1\,dx = -x.
Para \int -x e^{x}(4x^{2}-3)\,dx expandimos:
-x(4x^{2}-3)e^{x} = -4x^{3}e^{x}+3x e^{x}.
Usamos fórmulas de integração por partes recorrente (ou a fórmula \int x^{n}e^{x}dx=e^{x}(x^{n}-n x^{n-1}+\cdots)+C).
Cálculos úteis:
\int x e^{x}dx = e^{x}(x-1)+C,
\int x^{3}e^{x}dx = e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+C.
Assim
\int (-4x^{3}e^{x})dx = -4e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6),
\int 3x e^{x}dx = 3e^{x}(x-1).
Somando tudo e juntando com -x:
u_{1}(x) = -x -4e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+3e^{x}(x-1).
Simplificando os termos em e^{x}:
-4(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+3(x-1) = -4x^{3}+12x^{2}-24x+24 +3x -3
= -4x^{3}+12x^{2}-21x+21.
Portanto (ignorando constante de integração)
u_{1}(x) = -x + e^{x}\bigl(-4x^{3}+12x^{2}-21x+21\bigr).
Agora u_{2}:
u_{2}'(x)=e^{x}(4x^{2}-3)+\frac{1}{x}.
Integramos:
\int e^{x}(4x^{2}-3)dx = 4\int x^{2}e^{x}dx -3\int e^{x}dx.
Usamos \int x^{2}e^{x}dx = e^{x}(x^{2}-2x+2). Então
4\int x^{2}e^{x}dx = 4e^{x}(x^{2}-2x+2) = 4x^{2}e^{x}-8x e^{x}+8e^{x},
e -3\int e^{x}dx = -3e^{x}. Somando:
\int e^{x}(4x^{2}-3)dx = 4x^{2}e^{x}-8x e^{x}+5e^{x}.
Além disso \int \dfrac{1}{x}dx=\ln|x|. Logo (sem constante):
u_{2}(x)=4x^{2}e^{x}-8x e^{x}+5e^{x}+\ln|x|.

Passo 7

Montamos a solução particular:
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x).
Substituímos y_{1}=e^{-x} e y_{2}=x e^{-x}.
Primeiro calcule u_{1}y_{1}:
u_{1}y_{1}=\bigl[-x + e^{x}(-4x^{3}+12x^{2}-21x+21)\bigr]\cdot e^{-x} =-x e^{-x} +(-4x^{3}+12x^{2}-21x+21).
Depois u_{2}y_{2}:
u_{2}y_{2}=\bigl[4x^{2}e^{x}-8x e^{x}+5e^{x}+\ln|x|\bigr]\cdot x e^{-x} =4x^{3}-8x^{2}+5x + x e^{-x}\ln|x|.
Somando:
y_{p}(x)=\bigl(-x e^{-x} +(-4x^{3}+12x^{2}-21x+21)\bigr) +(4x^{3}-8x^{2}+5x + x e^{-x}\ln|x|).
Agora simplificamos os termos polinomiais (os x^{3} se cancelam):
-4x^{3}+4x^{3}=0,\quad 12x^{2}-8x^{2}=4x^{2},\quad -21x+5x=-16x.
E os termos com e^{-x}:
-x e^{-x}+ x e^{-x}\ln|x| = x e^{-x}\bigl(\ln|x|-1\bigr).
Portanto obtemos
y_{p}(x)=4x^{2}-16x+21 + x e^{-x}\bigl(\ln|x|-1\bigr).

Passo 8

Breve verificação mental (para te deixar confiante): o polinômio 4x^{2}-16x+21 sob o operador D^{2}+2D+1 produz exatamente 4x^{2}-3 (teste rápido: derivadas dão p''=8, p'=8x-16; somando dão 4x^{2}-3), e a parte x e^{-x}\ln|x| - x e^{-x} produz a peça \dfrac{e^{-x}}{x} (podes verificar derivando como um exercício: o operador aplicado em x e^{-x}\ln x \dfrac{e^{-x}}{x}; mostramos isso durante os cálculos). Assim o y_{p} acima gera exatamente o RHS pedido.

Resposta

y_{p}(x)=4x^{2}-16x+21 + x e^{-x}\bigl(\ln|x|-1\bigr)

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