47 Um pequeno corpo sólido de metal é abandonado na superfície de uma piscina de 3 m de profundidade e leva 1 segundo para afundar. Qual é a densidade do material de que é feito o corpo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Dados fornecidos:
- A profundidade da piscina (deslocamento vertical até o fundo) é
. - O corpo é abandonado na superfície com velocidade inicial nula e leva
para atingir o fundo. - O corpo é um sólido metálico (assumimos que sua forma e tamanho não mudam durante a queda).
- A profundidade da piscina (deslocamento vertical até o fundo) é
- Informação física que precisamos usar (assumida):
- Tomarei a densidade da água como
. - Para simplificar cálculos (comum em exercícios), tomarei a aceleração da gravidade como
. (Se preferir usar , o procedimento é o mesmo e o valor final muda pouco.)
- Tomarei a densidade da água como
- O que o enunciado pede:
- A densidade do material do corpo, isto é,
.
- A densidade do material do corpo, isto é,
Passo 2
Princípios físicos e formulação do problema (aula rápida e prática):
- Forças atuando no corpo submerso (quando está na água, durante a descida):
- Peso do corpo (força para baixo):
. Se o corpo tem volume e densidade , sua massa é . Então Expliquei: é massa por volume; multiplicando por volume dá massa; multiplicando por dá peso. - Força de empuxo (para cima) pela água — Princípio de Arquimedes:
onde é a densidade do fluido deslocado (água) e o mesmo volume do corpo. Arquimedes diz que o empuxo é o peso do fluido deslocado.
- Peso do corpo (força para baixo):
- Força resultante na direção vertical (para baixo positiva):
- Pela segunda lei de Newton, a mesma força resultante é
, onde é a aceleração do corpo durante o mergulho. - Igualando:
Podemos cancelar (não precisamos do volume numérico do corpo), ficando: - Isolando a aceleração
: Esta fórmula é muito útil: a aceleração é menor que porque o empuxo reduz a força resultante; quanto mais próxima a densidade do corpo estiver da da água, menor será .
Passo 3
Determinar a aceleração a partir dos dados de deslocamento e tempo (cinemática):
- O corpo parte do repouso e percorre a distância vertical
em com aceleração constante . A equação de movimento apropriada é onde: -
é o deslocamento vertical (positiva no sentido da queda), -
é a aceleração constante, -
é o tempo.
-
- Substituindo
e :
Passo 4
Relacionar a aceleração encontrada com a densidade e resolver para
:
- Da fórmula do passo 2 temos
- Isolando
: - Substituindo os valores numéricos (usando
, , ): - Observação numérica rápida: se alguém usasse
, teríamos ou seja, valores próximos. Usei por simplicidade (muito comum em provas).
Passo 5
Comentário sobre hipóteses e interpretação (importante na hora da prova — o que você pode justificar ao marcar resposta):
- Hipóteses que fizemos (e que normalmente são aceitas em questões introdutórias):
- Desprezamos a resistência viscosa (arrasto) do fluido. Isso é razoável se o corpo for compacto e o tempo curto; se o corpo fosse muito pequeno ou a velocidade alta, o arrasto poderia ser relevante e o movimento não teria aceleração constante.
- O corpo permanece totalmente submerso durante a descida (o empuxo usa sempre o mesmo volume
). - A água é incompressível e de densidade uniforme
.
- Conclusão física: o corpo é mais denso que a água (pois afunda), e a densidade encontrada (
) é compatível com metais pesados (por exemplo, cerâmica densa, vidro ou alguns metais leve-pesados; o chumbo tem , o alumínio — portanto nosso resultado cai na mesma ordem de magnitude de materiais metálicos). - Dica prática para prova: exponha claramente que cancelou
, usou Arquimedes + 2ª lei e a fórmula de cinemática; e indique a suposição de (10 ou 9,8) para justificar o número final.