47 Um pequeno corpo sólido de metal é abandonado na superfície de uma piscina de 3 m de profundidade e leva 1 segundo para afundar. Qual é a densidade do material de que é feito o corpo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Dados fornecidos:
    • A profundidade da piscina (deslocamento vertical até o fundo) é \;3\\ \text{m}.
    • O corpo é abandonado na superfície com velocidade inicial nula e leva \;1\\ \text{s} para atingir o fundo.
    • O corpo é um sólido metálico (assumimos que sua forma e tamanho não mudam durante a queda).
  • Informação física que precisamos usar (assumida):
    • Tomarei a densidade da água como \;\rho_{\text{água}} = 1000\\ \text{kg/m}^3á.
    • Para simplificar cálculos (comum em exercícios), tomarei a aceleração da gravidade como \;g = 10\\ \text{m/s}^2. (Se preferir usar g=9{,}8\\ \text{m/s}^2, o procedimento é o mesmo e o valor final muda pouco.)
  • O que o enunciado pede:
    • A densidade do material do corpo, isto é, \;\rho_{\text{corpo}}.

Passo 2

Princípios físicos e formulação do problema (aula rápida e prática):
  • Forças atuando no corpo submerso (quando está na água, durante a descida):
    • Peso do corpo (força para baixo): P = m g. Se o corpo tem volume V e densidade \rho_{\text{corpo}}, sua massa é m=\rho_{\text{corpo}} V. Então P = \rho_{\text{corpo}} V g.Expliquei: \rho_{\text{corpo}} é massa por volume; multiplicando por volume dá massa; multiplicando por g dá peso.
    • Força de empuxo (para cima) pela água — Princípio de Arquimedes: F_b = \rho_{\text{água}} V g,áonde \rho_{\text{água}}á é a densidade do fluido deslocado (água) e V o mesmo volume do corpo. Arquimedes diz que o empuxo é o peso do fluido deslocado.
  • Força resultante na direção vertical (para baixo positiva): F_{\text{res}} = P - F_b = (\rho_{\text{corpo}} V g) - (\rho_{\text{água}} V g) = (\rho_{\text{corpo}} - \rho_{\text{água}})\,V g.áá
  • Pela segunda lei de Newton, a mesma força resultante é F_{\text{res}} = m a = \rho_{\text{corpo}} V a, onde \;a é a aceleração do corpo durante o mergulho.
  • Igualando: \rho_{\text{corpo}} V a = (\rho_{\text{corpo}} - \rho_{\text{água}}) V g.áPodemos cancelar V (não precisamos do volume numérico do corpo), ficando: \rho_{\text{corpo}}\,a = (\rho_{\text{corpo}} - \rho_{\text{água}})\,g.á
  • Isolando a aceleração \;a: a = g\left(1 - \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{corpo}}}\right).áEsta fórmula é muito útil: a aceleração é menor que g porque o empuxo reduz a força resultante; quanto mais próxima a densidade do corpo estiver da da água, menor será a.

Passo 3

Determinar a aceleração a partir dos dados de deslocamento e tempo (cinemática):
  • O corpo parte do repouso e percorre a distância vertical \;s=3\\ \text{m} em \;t=1\\ \text{s} com aceleração constante \;a. A equação de movimento apropriada é s = \frac{1}{2} a t^2,onde:
    • s é o deslocamento vertical (positiva no sentido da queda),
    • a é a aceleração constante,
    • t é o tempo.
  • Substituindo s=3 e t=1: 3 = \frac{1}{2} a \cdot 1^2 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{2\cdot 3}{1^2} = 6\\ \text{m/s}^2.

Passo 4

Relacionar a aceleração encontrada com a densidade e resolver para \rho_{\text{corpo}}:
  • Da fórmula do passo 2 temos a = g\left(1 - \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{corpo}}}\right).á
  • Isolando \rho_{\text{corpo}}: \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{corpo}}} = 1 - \frac{a}{g} \quad\Rightarrow\quad \rho_{\text{corpo}} = \frac{\rho_{\text{água}}}{1 - \dfrac{a}{g}}.áá
  • Substituindo os valores numéricos (usando \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg/m}^3á, a=6\\ \text{m/s}^2, g=10\\ \text{m/s}^2): \rho_{\text{corpo}} = \frac{1000}{1 - \dfrac{6}{10}} = \frac{1000}{1 - 0{,}6} = \frac{1000}{0{,}4} = 2500\\ \text{kg/m}^3.
  • Observação numérica rápida: se alguém usasse g=9{,}8\\ \text{m/s}^2, teríamos \rho_{\text{corpo}} = \frac{1000}{1 - \dfrac{6}{9{,}8}} \approx 2579\\ \text{kg/m}^3,ou seja, valores próximos. Usei g=10 por simplicidade (muito comum em provas).

Passo 5

Comentário sobre hipóteses e interpretação (importante na hora da prova — o que você pode justificar ao marcar resposta):
  • Hipóteses que fizemos (e que normalmente são aceitas em questões introdutórias):
    • Desprezamos a resistência viscosa (arrasto) do fluido. Isso é razoável se o corpo for compacto e o tempo curto; se o corpo fosse muito pequeno ou a velocidade alta, o arrasto poderia ser relevante e o movimento não teria aceleração constante.
    • O corpo permanece totalmente submerso durante a descida (o empuxo usa sempre o mesmo volume V).
    • A água é incompressível e de densidade uniforme \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg/m}^3á.
  • Conclusão física: o corpo é mais denso que a água (pois afunda), e a densidade encontrada ( \sim 2500\\ \text{kg/m}^3) é compatível com metais pesados (por exemplo, cerâmica densa, vidro ou alguns metais leve-pesados; o chumbo tem \sim 11300\\ \text{kg/m}^3, o alumínio \sim 2700\\ \text{kg/m}^3 — portanto nosso resultado cai na mesma ordem de magnitude de materiais metálicos).
  • Dica prática para prova: exponha claramente que cancelou V, usou Arquimedes + 2ª lei e a fórmula de cinemática; e indique a suposição de g (10 ou 9,8) para justificar o número final.

Resposta

2500\\ \text{kg/m}^3

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