(7.32) A energia potencial entre dois átomos de hidrogênio separados por uma grande distância x é dada por U(x)=-C_{6} / x^{6}, onde C_{6} é uma constante positiva. Qual é a força que um átomo exerce sobre o outro? Essa força é de atraçāo ou de repulsāo?

Passo 1

O enunciado fornece a energia potencial entre dois átomos de hidrogênio separados por uma distância x:
U(x) = -\dfrac{C_{6}}{x^{6}},
com C_{6}>0. As perguntas são:
  • Qual é a força que um átomo exerce sobre o outro, isto é, F(x)?
  • Essa força é de atração ou de repulsão?

Passo 2

Lembrete essencial (fórmula que vamos usar): para uma força conservativa unidimensional associada a uma energia potencial U(x), a relação entre força e potencial é
F(x) = -\dfrac{dU}{dx}.
Explicação dessa fórmula de forma simples: \dfrac{dU}{dx} diz como a energia potencial varia quando a separação x muda. O sinal negativo aparece porque a força puxa o sistema na direção que diminui a energia potencial. Assim, se \dfrac{dU}{dx}>0 a força é negativa (puxa para diminuir x); se \dfrac{dU}{dx}<0 a força é positiva (empurra para aumentar x).

Passo 3

Aplicar a regra da derivada de potências (regra do poder): para \,x^{n}\, vale \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Escrevendo U(x) em potência:
U(x) = -C_{6}\,x^{-6}.
Derivando U(x) em relação a x:
\dfrac{dU}{dx} = -C_{6}\cdot \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{-6}\bigr) = -C_{6}\cdot(-6)\,x^{-7} = 6\,C_{6}\,x^{-7}.

Passo 4

Agora usamos F(x) = -\dfrac{dU}{dx}. Substituindo o resultado da derivada:
F(x) = -\bigl(6\,C_{6}\,x^{-7}\bigr) = -\dfrac{6\,C_{6}}{x^{7}}.
A magnitude (valor absoluto) da força é
\lvert F(x)\rvert = \dfrac{6\,C_{6}}{x^{7}}.

Passo 5

Interpretação do sinal: como C_{6}>0 e x>0, a força F(x) é negativa. No convênio de que o eixo positivo de x aponta para afastar os átomos, F(x)<0 significa que a força aponta para diminuir x, ou seja, puxa os átomos um contra o outro. Portanto é uma força de atração. Vale também lembrar a terceira lei de Newton: o outro átomo sente a mesma força em módulo, mas no sentido oposto.

Resposta

F(x) = -\dfrac{6\,C_{6}}{x^{7}}
Força de atração.

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