(7.38) Dois blocos com massas diferentes estão amarrados a cada extremidade de uma corda leve que passa sobre uma polia leve e sem atrito, suspensa a partir do teto. As massas são liberadas do repouso, e a mais pesada começa a descer. Após essa massa descer 1,20 \mathrm{~m}, sua velocidade é 3,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a massa total dos dois blocos é 22,0 \mathrm{~kg}, qual é a massa de cada bloco?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Duas massas diferentes estão ligadas por uma corda que passa por uma polia leve e sem atrito. A mais pesada desce e a mais leve sobe.
  • A massa que desce desloca-se uma distância \,1,20\\ \mathrm{m}.
  • A velocidade dessa massa, depois desse deslocamento, é \,3,00\\ \mathrm{m/s}.
  • A massa total das duas massas é \,22,0\\ \mathrm{kg}.
  • O enunciado pede: determinar a massa de cada bloco (ou seja, achar cada uma das duas massas).

Passo 2

Escolher variáveis e organizar as ideias (sem resolver ainda).
  • Seja \,m_1 a massa mais pesada (a que desce) e \,m_2 a massa mais leve (a que sobe).
  • Sabemos que
m_1+m_2=22,0\\ \mathrm{kg}.
  • A distância descida pela massa mais pesada é \,h=1,20\\ \mathrm{m} e a velocidade final de ambas (elas têm a mesma rapidez porque estão ligadas) é \,v=3,00\\ \mathrm{m/s}.
  • Assumir a aceleração da gravidade \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).

Passo 3

Explicar a ideia física que vamos usar (aula curta e intuitiva).
Como a polia e a corda são ideais (sem atrito, sem massa), não há perda de energia mecânica por atrito ou rotação significativa da polia. Então a energia mecânica total se conserva durante o movimento desde o repouso até o instante citado.
  • A variação da energia potencial gravitacional do sistema (quando m_1 desce h e m_2 sobe h) é
\Delta U = -m_1 g h + m_2 g h = -(m_1-m_2) g h.
Ou seja, a energia potencial diminui em magnitude (m_1-m_2) g h.
  • Essa energia potencial perdida vira energia cinética das duas massas, que é
K = \tfrac{1}{2} m_1 v^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v^2 = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2) v^2.
Pela conservação de energia:
(m_1-m_2) g h = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2) v^2.

Passo 4

Isolar a incógnita útil e usar a massa total conhecida.
Na equação obtida podemos resolver para a diferença (m_1-m_2). Como conhecemos (m_1+m_2)=22,0\\ \mathrm{kg}, temos
m_1-m_2 = \frac{\tfrac{1}{2}(m_1+m_2) v^2}{g h} = \frac{\tfrac{1}{2}\cdot 22,0\cdot (3,00)^2}{9,80\cdot 1,20}.
Calcule passo a passo (explicando as contas de cabeça/paper-friendly):
  • Primeiro o numerador da fração:
\tfrac{1}{2}\cdot 22,0\cdot (3,00)^2 = 11,0\cdot 9,00 = 99,0\\ \mathrm{J}.
  • O denominador:
g h = 9,80\cdot 1,20 = 11,76\\ (\mathrm{m^2/s^2})\\ (\text{unidade que combina com J/kg}).
  • Então
m_1-m_2 = \frac{99,0}{11,76} \approx 8,418\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com número adequado de algarismos significativos (dados têm 3 algarismos significativos), podemos usar \,8,42\\ \mathrm{kg} para a diferença.

Passo 5

Determinar as massas individuais usando soma e diferença.
Temos agora o sistema simples
\begin{cases} m_1+m_2=22,0,\\[4pt] m_1-m_2\approx 8,418. \end{cases}
Somando as duas equações:
2m_1 = 22,0 + 8,418 = 30,418 \quad\Rightarrow\quad m_1 \approx 15,209\\ \mathrm{kg}.
Subtraindo para achar m_2 (ou usando m_2=22,0-m_1):
m_2 = 22,0 - 15,209 \approx 6,791\\ \mathrm{kg}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistência com os dados):
m_1 \approx 15,2\\ \mathrm{kg},\qquad m_2 \approx 6,79\\ \mathrm{kg}.]

Resposta

\,m_1 \approx 15,2\\ \mathrm{kg}
\,m_2 \approx 6,79\\ \mathrm{kg}

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