(7.38) Dois blocos com massas diferentes estão amarrados a cada extremidade de uma corda leve que passa sobre uma polia leve e sem atrito, suspensa a partir do teto. As massas são liberadas do repouso, e a mais pesada começa a descer. Após essa massa descer
, sua velocidade é
. Se a massa total dos dois blocos é
, qual é a massa de cada bloco?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Duas massas diferentes estão ligadas por uma corda que passa por uma polia leve e sem atrito. A mais pesada desce e a mais leve sobe.
- A massa que desce desloca-se uma distância
. - A velocidade dessa massa, depois desse deslocamento, é
. - A massa total das duas massas é
. - O enunciado pede: determinar a massa de cada bloco (ou seja, achar cada uma das duas massas).
Passo 2
Escolher variáveis e organizar as ideias (sem resolver ainda).
- Seja
a massa mais pesada (a que desce) e a massa mais leve (a que sobe). - Sabemos que
- A distância descida pela massa mais pesada é
e a velocidade final de ambas (elas têm a mesma rapidez porque estão ligadas) é . - Assumir a aceleração da gravidade
(valor padrão).
Passo 3
Explicar a ideia física que vamos usar (aula curta e intuitiva).
Como a polia e a corda são ideais (sem atrito, sem massa), não há perda de energia mecânica por atrito ou rotação significativa da polia. Então a energia mecânica total se conserva durante o movimento desde o repouso até o instante citado.
- A variação da energia potencial gravitacional do sistema (quando
desce e sobe ) é
Ou seja, a energia potencial diminui em magnitude
.
- Essa energia potencial perdida vira energia cinética das duas massas, que é
Pela conservação de energia:
Passo 4
Isolar a incógnita útil e usar a massa total conhecida.
Na equação obtida podemos resolver para a diferença
. Como conhecemos
, temos
Calcule passo a passo (explicando as contas de cabeça/paper-friendly):
- Primeiro o numerador da fração:
- O denominador:
- Então
Arredondando com número adequado de algarismos significativos (dados têm 3 algarismos significativos), podemos usar
para a diferença.
Passo 5
Determinar as massas individuais usando soma e diferença.
Temos agora o sistema simples
Somando as duas equações:
Subtraindo para achar
(ou usando
):
Arredondando para três algarismos significativos (consistência com os dados):