(3+2 i) \div(-2+i)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divisão dos números complexos \,(3+2 i)\div(-2+i).
Informações dadas:
  • Numerador: \,3+2i.
  • Denominador: -2+i.
    O que se quer: o quociente escrito na forma padrão de número complexo \,x+yi (parte real x e parte imaginária y).

Passo 2

Método que vou usar (explicação didática e por que funciona).
Para dividir complexos, é comum eliminar a parte imaginária do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Definições e ideias:
  • Se o denominador é \,c+di, o seu conjugado é \,c-di.
  • Multiplicando \,(c+di)(c-di) usa-se a identidade (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Aplicando aqui: (c+di)(c-di)=c^2-(di)^2=c^2-d^2 i^2.Como \,i^2=-1, tem-se c^2-d^2 i^2 = c^2 - d^2(-1)=c^2+d^2,que é um número real. Isso elimina a parte imaginária no denominador.
  • Fórmula geral (cada letra representa uma parte real ou imaginária): \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.Aqui \,a e \,b são a parte real e imaginária do numerador; \,c e \,d são a parte real e imaginária do denominador.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{3+2i}{-2+i}\cdot\frac{-2-i}{-2-i}=\frac{(3+2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}.
Calcule o numerador com FOIL (distributiva):
(3+2i)(-2-i)=3\cdot(-2)+3\cdot(-i)+2i\cdot(-2)+2i\cdot(-i).
Agora calcule cada termo:
3\cdot(-2)=-6,\qquad 3\cdot(-i)=-3i,\qquad 2i\cdot(-2)=-4i,\qquad 2i\cdot(-i)=-2i^2.
Lembrando que \,i^2=-1, então \,-2i^2=-2(-1)=2. Somando os termos reais e imaginários:
-6 + 2 = -4 \quad\text{(parte real)},\qquad -3i-4i=-7i \quad\text{(parte imaginária)}.á
Portanto o numerador simplificado é
(3+2i)(-2-i)=-4-7i.

Passo 4

Calcule o denominador usando a propriedade do conjugado:
(-2+i)(-2-i)=(-2)^2-(i)^2=4-(i^2).
Como \,i^2=-1, temos
4-(i^2)=4-(-1)=5.
Logo o denominador é o número real \,5.

Passo 5

Agora divida o numerador pelo denominador:
\frac{-4-7i}{5}=\frac{-4}{5}+\frac{-7}{5}i.
Escrevendo de forma mais habitual:
-\frac{4}{5}-\frac{7}{5}i.

Passo 6

Verificação rápida usando a fórmula direta \,\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i. Aqui \,a=3, \,b=2, \,c=-2, \,d=1:
ac+bd=3\cdot(-2)+2\cdot1=-6+2=-4,
bc-ad=2\cdot(-2)-3\cdot1=-4-3=-7,
c^2+d^2=4+1=5.
Logo o quociente é -\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{5}i, que coincide com o cálculo anterior.

Resposta

-\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{5}i

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