Calcular o volume da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 entre os planos z=1 e z=2. usando coordenadas cilíndricas e esféricas.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo tirado do próprio enunciado):
A superfície da esfera é dada por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\;. Logo o raio da esfera é \;R=3.
Queremos a parte da esfera que fica entre os planos \;z=1\; e \;z=2\;. Ou seja, todos os pontos tais que \;1\le z\le 2\; e \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9\;.
Informações úteis que podemos extrair imediatamente (peguei da equação da esfera):
A interseção com o plano \;z=1\; é o círculo de raio \sqrt{9-1^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
A interseção com o plano \;z=2\; é o círculo de raio \sqrt{9-2^{2}}=\sqrt{5}.
O enunciado pede que se calcule o volume dessa região usando coordenadas cilíndricas e usando coordenadas esféricas.
Agora começa a resolução efetiva.
Passo 2
Preparação: fórmula do volume em coordenadas cilíndricas e definições (explicadinha).
Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis \;r,\theta,z\; com as relaçõesx=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas édV = r\,dr\,d\theta\,dz.Explicação curta: o fator r aparece porque as “fatias” angulares têm comprimento r\,d\theta, então a área da base diferencial é r\,dr\,d\theta.
Agora descrevemos os limites da região no sistema (r,\theta,z):
\theta varia em todo o círculo: \;0\le\theta\le 2\pi.
Para um dado z entre 1 e 2, o raio r da seção transversal é limitado pela esfera:r^{2}+z^{2}\le 9 \quad\Rightarrow\quad 0\le r\le \sqrt{9-z^{2}}.
Faço as contas com calma: 18-\frac{8}{3}=\frac{54-8}{3}=\frac{46}{3} e 9-\frac{1}{3}=\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}. A diferença é \frac{46}{3}-\frac{26}{3}=\frac{20}{3}.
Logo
V = \pi\cdot \frac{20}{3} = \frac{20\pi}{3}.
Prontinho: pela conta em cilíndricas deu \dfrac{20\pi}{3}.
Passo 4
Agora vamos fazer pelo caminho esférico. Primeiro as definições e o elemento de volume (passo a passo didático).
Em coordenadas esféricas usamos \;\rho,\varphi,\theta\; com as relações (padrão matemático):
onde \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, \varphi=0 aponta para +z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
O elemento de volume em esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação: \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano da transformação — pense como a área da “faixa” sobre a esfera vezes a espessura radial.
A esfera é \rho=3. A condição 1\le z\le 2 vira
1 \le \rho\cos\varphi \le 2.
Para cada direção (\varphi,\theta) a variável \rho deve satisfazer isso e estar também na faixa [0,3]. Portanto os limites para \rho dependem de \varphi. Vamos analisar cuidadosamente os \varphi para os quais existe interseção:
Para existir algum \rho\le 3 com \rho\cos\varphi\ge 1 é necessário 3\cos\varphi\ge 1, ou seja \cos\varphi\ge \tfrac{1}{3}. Isso corresponde a0\le \varphi \le \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).Para \varphi>\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right) toda a reta radial até a esfera tem z<1 e não contribui.
Entre essas direções ainda há duas situações:
Se \cos\varphi\ge \tfrac{2}{3} (ou seja \varphi\le \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{3}\right)), então os valores \rho=1/\cos\varphi e \rho=2/\cos\varphi estão ambos \le 3. Nessa faixa de \varphi a condição 1\le\rho\cos\varphi\le 2 produz \rho\in\bigl[1/\cos\varphi,\,2/\cos\varphi\bigr].
Se \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\le\varphi\le \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right), então 2/\cos\varphi>3 mas 1/\cos\varphi\le 3. Nessa faixa a condição dá \rho\in\bigl[1/\cos\varphi,\,3\bigr].
Portanto devemos dividir a integral em duas partes (vou chamar \phi_{2}=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{3}\right) e \phi_{1}=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)).
Passo 5
Montagem explícita e cálculo das integrais em esféricas, com substituições claras.
A integral de volume é (somando as duas faixas em \varphi e integrando \theta de 0 a 2\pi):
V = \int_{0}^{2\pi}\!d\theta \left( \int_{\varphi=0}^{\phi_{2}}\!\sin\varphi\,d\varphi \int_{\rho=1/\cos\varphi}^{2/\cos\varphi}\rho^{2}\,d\rho \;+\; \int_{\varphi=\phi_{2}}^{\phi_{1}}\!\sin\varphi\,d\varphi \int_{\rho=1/\cos\varphi}^{3}\rho^{2}\,d\rho \right).
Vamos calcular cada parte separadamente.
Parte A: \;0\le\varphi\le\phi_{2} com \rho\in[1/\cos\varphi,\,2/\cos\varphi].
Integral em \rho:\int_{1/\cos\varphi}^{2/\cos\varphi}\rho^{2}\,d\rho = \left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{1/\cos\varphi}^{2/\cos\varphi} = \frac{1}{3}\left(\frac{8}{\cos^{3}\varphi}-\frac{1}{\cos^{3}\varphi}\right) = \frac{7}{3}\cdot\frac{1}{\cos^{3}\varphi}.
Multiplicando por \sin\varphi e integrando em \varphi:\int_{0}^{\phi_{2}} \sin\varphi\cdot\frac{7}{3}\frac{1}{\cos^{3}\varphi}\,d\varphi = \frac{7}{3}\int_{0}^{\phi_{2}} \frac{\sin\varphi}{\cos^{3}\varphi}\,d\varphi.Faça a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Assim\int \frac{\sin\varphi}{\cos^{3}\varphi}\,d\varphi = \int -\frac{du}{u^{3}} = \frac{1}{2}\frac{1}{u^{2}} + C = \frac{1}{2}\frac{1}{\cos^{2}\varphi}+C.Avaliando de 0 a \phi_{2}:\frac{7}{3}\cdot\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\cos^{2}\phi_{2}}-\frac{1}{\cos^{2}0}\right)\right] = \frac{7}{6}\left(\frac{1}{\cos^{2}\phi_{2}}-1\right).Sabendo que \cos\phi_{2}=\tfrac{2}{3}, temos \frac{1}{\cos^{2}\phi_{2}}=\frac{9}{4}. Logo o valor dessa parte é\frac{7}{6}\left(\frac{9}{4}-1\right)=\frac{7}{6}\cdot\frac{5}{4}=\frac{35}{24}.
Ainda falta o fator 2\pi (integração em \theta). Assim a Parte A dáV_{A}=2\pi\cdot\frac{35}{24}=\frac{35\pi}{12}.
Parte B: \;\phi_{2}\le\varphi\le\phi_{1} com \rho\in[1/\cos\varphi,\,3].
\displaystyle \int_{\phi_{2}}^{\phi_{1}}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\phi_{2}}^{\phi_{1}} = -\cos\phi_{1} + \cos\phi_{2}. Como \cos\phi_{1}=\tfrac{1}{3} e \cos\phi_{2}=\tfrac{2}{3}, isso vale \tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}. Logo 9 vezes isso é 3.
Para a segunda integral usamos de novo a substituição u=\cos\varphi, com o mesmo resultado visto antes:\int_{\phi_{2}}^{\phi_{1}}\frac{\sin\varphi}{\cos^{3}\varphi}\,d\varphi = \left.\frac{1}{2}\frac{1}{\cos^{2}\varphi}\right|_{\phi_{2}}^{\phi_{1}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\cos^{2}\phi_{1}}-\frac{1}{\cos^{2}\phi_{2}}\right).Substituindo \cos\phi_{1}=\tfrac{1}{3} e \cos\phi_{2}=\tfrac{2}{3} dá\frac{1}{2}\left(9-\frac{9}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{27}{4}=\frac{27}{8}.Multiplicando por -\tfrac{1}{3} obtemos -\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{27}{8} = -\tfrac{9}{8}.
Somando as duas partes dá para a integral em \varphi o valor 3 - \tfrac{9}{8} = \tfrac{15}{8}.
Multiplicando pelo fator 2\pi (integração em \theta) resulta
V_{B}=2\pi\cdot\frac{15}{8}=\frac{15\pi}{4}.
Finalmente:
V = V_{A}+V_{B} = \frac{35\pi}{12}+\frac{15\pi}{4} = \frac{35\pi}{12}+\frac{45\pi}{12}=\frac{80\pi}{12}=\frac{20\pi}{3}.
Passo 6
Verificação rápida (intuição / fórmula conhecida): existe uma fórmula para o volume de um “cap” esférico de altura h em esfera de raio R:
O cap acima de z=1 tem altura h_{1}=R-1=2. Então V_{1}=\pi\cdot 2^{2}\bigl(3-\tfrac{2}{3}\bigr)=4\pi\cdot\tfrac{7}{3}=\tfrac{28\pi}{3}.
O cap acima de z=2 tem altura h_{2}=R-2=1. Então V_{2}=\pi\cdot 1^{2}\bigl(3-\tfrac{1}{3}\bigr)=\pi\cdot\tfrac{8}{3}=\tfrac{8\pi}{3}.
A diferença V_{1}-V_{2}=\tfrac{28\pi}{3}-\tfrac{8\pi}{3}=\tfrac{20\pi}{3} confirma o resultado anterior. É sempre bom fazer esse tipo de checagem mental na prova.