(3+2 i) \times(-2+i)

Passo 1

O enunciado dá o produto entre dois números complexos e pede o resultado:
(3+2i)\times(-2+i).
Informações relevantes que temos:
  • Os fatores são 3+2i e -2+i.
  • i é a unidade imaginária, com a propriedade i^2=-1.
    O objetivo é calcular exatamente o número complexo produto e escrevê-lo na forma padrão (parte real + parte imaginária).

Passo 2

Lembrete útil (conceito básico que vamos usar): para multiplicar soma de termos usa-se a propriedade distributiva (ou regra do produto de binômios). No caso de complexos, tratamos i como uma letra que obedece às mesmas regras algébricas, exceto pela identidade especial i^2=-1. Ou seja, ao multiplicar (a+bi)(c+di) expandimos como em binômios:
(a+bi)(c+di)=ac + adi + bci + bdi^2,
e depois substituímos i^2=-1 e juntamos parte real e parte imaginária.

Passo 3

Aplicando a expansão ao nosso produto, consideramos a=3, b=2, c=-2, d=1. Expandindo:
(3+2i)(-2+i)=3\cdot(-2) + 3\cdot i + 2i\cdot(-2) + 2i\cdot i.

Passo 4

Agora calculamos cada termo e usamos i^2=-1:
3\cdot(-2) = -6, \qquad 3\cdot i = 3i, \qquad 2i\cdot(-2) = -4i, \qquad 2i\cdot i = 2i^2 = 2(-1) = -2.
Somando todos os termos:
-6 + 3i -4i -2.

Passo 5

Juntando as partes reais e as partes imaginárias:
  • Parte real: -6 + (-2) = -8.
  • Parte imaginária: 3i - 4i = -i.
    Portanto o produto é
-8 - i.

Passo 6

Dica rápida para a prova: trate multiplicação de complexos exatamente como multiplicação de binômios; só não se esqueça de substituir i^2 por -1 no final e então agrupar termos reais e termos com i. Exemplo extra, só para reforçar o método: calcular (1+4i)(2-3i). Expandindo e usando i^2=-1 chega-se a 2 -3i +8i -12i^2 = 2 +5i -12(-1) = 14 +5i.

Resposta

-8 - i

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