Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituicōes de x e y antes da diferenciação.
V=\pi x^{2} y ; x=\cos z \operatorname{sen} t ; y=z^{2} e^{t} ; \frac{\partial V}{\partial z} ; \frac{\partial V}{\partial t}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções e pede as derivadas parciais indicadas:
  • V=\pi x^{2}y.
  • x=\cos z\sin t.
  • y=z^{2}e^{t}.
As perguntas são:
  • Calcular \dfrac{\partial V}{\partial z}.
  • Calcular \dfrac{\partial V}{\partial t}.
Vou obter cada derivada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia (derivar V em relação a x,y e multiplicar pelas derivadas de x,y em relação a z,t); (b) substituindo x e y em V e diferenciar diretamente em z e t. Não vou pedir nada mais — tudo que preciso está acima.

Passo 2

Primeiro método: regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia para funções compostas em poucas palavras e com calma.
  • Ideia da regra da cadeia para parciais: se V depende de x e y, e x e y dependem de z e t, então a variação de V em relação a z (mantendo t fixo) é a soma das contribuições vindas da variação de x e da variação de y. Em fórmula:
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}.
Analogamente,
\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
  • Aqui \dfrac{\partial V}{\partial x} e \dfrac{\partial V}{\partial y} são derivadas parciais de V tratando x,y como variáveis independentes; \dfrac{\partial x}{\partial z}, \dfrac{\partial x}{\partial t}, \dfrac{\partial y}{\partial z}, \dfrac{\partial y}{\partial t} são derivadas de x(z,t) e y(z,t).
Agora calculamos cada termo explicitamente.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial V}{\partial x} e \dfrac{\partial V}{\partial y} a partir de V=\pi x^{2}y.
  • Tratar y como constante ao derivar em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x}=\pi\cdot 2x\cdot y=2\pi x y.
Explicação: derivada de x^{2} é 2x; multiplicamos por y e por \pi.
  • Tratar x como constante ao derivar em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y}=\pi x^{2}.
Explicação: V é linear em y com coeficiente \pi x^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas de x e y em relação a z e t.
As funções são x=\cos z\sin t e y=z^{2}e^{t}.
  • Derivadas de x:
\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(\cos z\sin t)= -\sin z\sin t,
porque \sin t é constante ao derivar em z e \dfrac{d}{dz}\cos z=-\sin z.
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(\cos z\sin t)=\cos z\cos t,
porque \cos z é constante ao derivar em t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
  • Derivadas de y:
\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}e^{t})=2z e^{t},
pois e^{t} é constante em z e \dfrac{d}{dz}z^{2}=2z.
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(z^{2}e^{t})=z^{2}e^{t},
pois z^{2} é constante em t e \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial V}{\partial z} e \dfrac{\partial V}{\partial t}, e substituir x e y nas expressões finais.
  • Para \dfrac{\partial V}{\partial z}:
\frac{\partial V}{\partial z}=(2\pi x y)\cdot\left(-\sin z\sin t\right)+(\pi x^{2})\cdot\left(2z e^{t}\right).
Agora substituímos x=\cos z\sin t e y=z^{2}e^{t}:
\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi(\cos z\sin t)(z^{2}e^{t})(- \sin z\sin t) + \pi(\cos z\sin t)^{2}(2z e^{t}).
Podemos simplificar fatorando 2\pi e^{t} quando conveniente:
\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi e^{t}\Big[-z^{2}(\cos z\sin t)(\sin z\sin t)+z(\cos z\sin t)^{2}\Big].
Fatorando mais (por exemplo 2\pi z e^{t}\sin^{2}t\cos z aparece naturalmente) obtemos uma forma compacta útil:
\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi z e^{t}\sin^{2}t\cos z\big(\cos z - z\sin z\big).
Explicação do último passo de fatoração: agrupar termos conforme potências de \sin t, \cos z e z para ficar mais legível.
  • Para \dfrac{\partial V}{\partial t}:
\frac{\partial V}{\partial t}=(2\pi x y)\cdot(\cos z\cos t)+(\pi x^{2})\cdot(z^{2}e^{t}).
Substituindo x=\cos z\sin t, y=z^{2}e^{t}:
\frac{\partial V}{\partial t} =2\pi(\cos z\sin t)(z^{2}e^{t})(\cos z\cos t) +\pi(\cos z\sin t)^{2}(z^{2}e^{t}).
Colocando \pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z em evidência:
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\big(2\sin t\cos t+\sin^{2}t\big).
Outra forma conveniente, fatorando \sin t:
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin t\big(2\cos t+\sin t\big).

Passo 6

Segundo método: substituir primeiro x e y em V e depois derivar. Vou mostrar como isso dá exatamente os mesmos resultados.
  • Substituir em V=\pi x^{2}y:
V(z,t)=\pi\big(\cos z\sin t\big)^{2}\cdot\big(z^{2}e^{t}\big).
Escrever de forma clara:
V(z,t)=\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin^{2}t.
Agora derivamos parcialmente mantendo a outra variável fixa.

Passo 7

Derivar V(z,t) em relação a z (aqui t é constante). Usamos regra do produto e cadeia quando preciso:
Tratar V=\pi\big[(\cos z\sin t)^{2}\big]\cdot\big(z^{2}e^{t}\big). Seja U=(\cos z\sin t)^{2} e W=z^{2}e^{t}.
  • U_z=2(\cos z\sin t)\cdot\frac{d}{dz}(\cos z\sin t)=2(\cos z\sin t)(- \sin z\sin t).
  • W_z=2z e^{t}.
Então
\frac{\partial V}{\partial z} =\pi\big(U_z W + U W_z\big) =\pi\Big[2(\cos z\sin t)(- \sin z\sin t)\cdot z^{2}e^{t}+(\cos z\sin t)^{2}\cdot 2z e^{t}\Big].
Simplificando e fatorando 2\pi e^{t} obtemos exatamente a expressão do Passo 5:
\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi e^{t}\Big[-z^{2}(\cos z\sin t)(\sin z\sin t)+z(\cos z\sin t)^{2}\Big],
que, ao fatorar, dá
\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi z e^{t}\sin^{2}t\cos z\big(\cos z - z\sin z\big).
Portanto, os dois métodos coincidem.

Passo 8

Derivar V(z,t) em relação a t (aqui z é constante) pelo segundo método para confirmar o resultado.
Usar V(z,t)=\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin^{2}t. Tratar V=\pi z^{2}\cos^{2}z\cdot(e^{t}\sin^{2}t) ou usar produto direto:
  • Derivar U=\cos^{2}z\sin^{2}t em relação a t: U_t=\cos^{2}z\cdot 2\sin t\cos t.
  • Derivar W=z^{2}e^{t} em relação a t: W_t=z^{2}e^{t}.
Então
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi\big(U_t W + U W_t\big) =\pi\Big[2\cos^{2}z\sin t\cos t\cdot z^{2}e^{t}+\cos^{2}z\sin^{2}t\cdot z^{2}e^{t}\Big].
Fatorando \pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z obtemos:
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\big(2\sin t\cos t+\sin^{2}t\big) =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin t\big(2\cos t+\sin t\big),
o que coincide com o resultado do Passo 5 vindo da regra da cadeia.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial V}{\partial z}=2\pi z e^{t}\sin^{2}t\cos z\big(\cos z - z\sin z\big)
\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}=\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin t\big(2\cos t+\sin t\big)

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