Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituicōes de
e
antes da diferenciação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes funções e pede as derivadas parciais indicadas:
-
. -
. -
.
As perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Vou obter cada derivada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia (derivar
em relação a
e multiplicar pelas derivadas de
em relação a
); (b) substituindo
e
em
e diferenciar diretamente em
e
. Não vou pedir nada mais — tudo que preciso está acima.
Passo 2
Primeiro método: regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia para funções compostas em poucas palavras e com calma.
- Ideia da regra da cadeia para parciais: se
depende de e , e e dependem de e , então a variação de em relação a (mantendo fixo) é a soma das contribuições vindas da variação de e da variação de . Em fórmula:
Analogamente,
- Aqui
e são derivadas parciais de tratando como variáveis independentes; , , , são derivadas de e .
Agora calculamos cada termo explicitamente.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
- Tratar
como constante ao derivar em relação a :
Explicação: derivada de
é
; multiplicamos por
e por
.
- Tratar
como constante ao derivar em relação a :
Explicação:
é linear em
com coeficiente
.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
em relação a
e
.
As funções são
e
.
- Derivadas de
:
porque
é constante ao derivar em
e
.
porque
é constante ao derivar em
e
.
- Derivadas de
:
pois
é constante em
e
.
pois
é constante em
e
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
e
, e substituir
e
nas expressões finais.
- Para
:
Agora substituímos
e
:
Podemos simplificar fatorando
quando conveniente:
Fatorando mais (por exemplo
aparece naturalmente) obtemos uma forma compacta útil:
Explicação do último passo de fatoração: agrupar termos conforme potências de
,
e
para ficar mais legível.
- Para
:
Substituindo
,
:
Colocando
em evidência:
Outra forma conveniente, fatorando
:
Passo 6
Segundo método: substituir primeiro
e
em
e depois derivar. Vou mostrar como isso dá exatamente os mesmos resultados.
- Substituir em
:
Escrever de forma clara:
Agora derivamos parcialmente mantendo a outra variável fixa.
Passo 7
Derivar
em relação a
(aqui
é constante). Usamos regra do produto e cadeia quando preciso:
Tratar
. Seja
e
.
-
. -
.
Então
Simplificando e fatorando
obtemos exatamente a expressão do Passo 5:
que, ao fatorar, dá
Portanto, os dois métodos coincidem.
Passo 8
Derivar
em relação a
(aqui
é constante) pelo segundo método para confirmar o resultado.
Usar
. Tratar
ou usar produto direto:
- Derivar
em relação a : . - Derivar
em relação a : .
Então
Fatorando
obtemos:
o que coincide com o resultado do Passo 5 vindo da regra da cadeia.