Uma “sacola de refrigeração”, comumente utilizada para o armazenamento de água em ambientes externos quentes e áridos, é feita de um tecido fino poroso. Uma pequena quantidade de água (espécie A ) se difunde através do tecido e evapora a partir da superficie da sacola. A taxa de evaporação é controlada pela transferência de massa por convecção da superficie externa do tecido para o ar seco ambiente. A energia para a evaporação é fornecida pelo ar quente que envolve a superficie externa da sacola. A evaporação da água resfria a água líquida remanescente dentro da sacola, estabelecendo uma força motriz para a temperatura em estado estacionário. Se a temperatura da superficie da sacola for 293 K , determine a temperatura do ar ambiente quente. Pode ser admitido que o ar ambiente árido está seco. A 293 K , o calor latente de vaporização da água é \lambda_{A}=2,45 \mathrm{~kJ} / \mathrm{g} de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} e a pressão de vapor da água é P_{A}=2,34 \times 10^{3} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura do ar ambiente quente T_{\infty}, sabendo que a superfície da sacola (e a superfície de evaporação) está à T_{s}=293\\ \text{K}.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Temperatura da superfície: T_{s}=293\\ \text{K}.
  • Pressão de vapor da água na superfície (saturada a 293\\ \text{K}): P_{A}=2,34\times10^{3}\\ \text{Pa}.
  • Calor latente de vaporização da água a 293\\ \text{K}: \lambda_{A}=2,45\\ \text{kJ/g} de \mathrm{H_{2}O}.
    Vou converter para unidades SI: \lambda = 2,45\\ \text{kJ/g}=2,45\times10^{6}\\ \text{J/kg}.
  • O ar ambiente é seco (pressão parcial de vapor no ar ambiente P_{A,\infty}=0).
  • Pressão atmosférica a assumir: P_{\text{atm}}=1,01325\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • Constantes físicas que vou usar (valores típicos à pressão ambiente):
    • Constante dos gases específicos do ar: R_{\text{air}}=287\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
    • Constante dos gases específicos para vapor d’água: R_{v}=461{,}5\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
    • Calor específico do ar a pressão constante: c_{p}=1005\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}.

Passo 2

Física e modelo utilizado (explicação didática):
  • Em regime estacionário, a energia que chega da corrente de ar quente até a superfície úmida serve para evaporar água. Logo, por unidade de área: \text{fluxo de calor convectivo } q = h\bigl(T_{\infty}-T_{s}\bigr)onde h é o coeficiente convectivo de calor.
  • A taxa de massa evaporada por unidade de área (massa por tempo e área) é dada por um coeficiente de transferência de massa k_{c} vezes a diferença de concentração de vapor entre a superfície e o ar: \dot{m}'' = k_{c}\bigl(\rho_{v,s}-\rho_{v,\infty}\bigr),em que \rho_{v,s} é a densidade de vapor saturado na superfície e \rho_{v,\infty} é a densidade de vapor no ar distante (aqui zero porque o ar é seco).
  • A energia requerida para evaporar essa massa por unidade de área é \dot{m}''\lambda. Em regime estacionário: h\bigl(T_{\infty}-T_{s}\bigr)=\dot{m}''\lambda = k_{c}\bigl(\rho_{v,s}-\rho_{v,\infty}\bigr)\lambda.
  • Falta h e k_{c}. Para ligar calor e massa usamos a analogia calor‑massa (explicação): para ar com vapor à condições usuais a razão entre transporte de calor e massa é aproximadamente a mesma (Lewis number próxima de 1). Isso permite aproximar k_{c}\approx\dfrac{h}{\rho\,c_{p}}, onde \rho e c_{p} são a densidade e o calor específico do ar. Essa é uma aproximação padrão (analogia de Chilton‑Colburn / Lewis \approx1); ela elimina os coeficientes desconhecidos h e k_{c} e dá uma relação entre T_{\infty} e propriedades termodinâmicas conhecidas.

Passo 3

Combinar equações e simplificar:
  • Substituindo k_{c}\approx\dfrac{h}{\rho\,c_{p}} na balança energia: h\bigl(T_{\infty}-T_{s}\bigr)=\frac{h}{\rho\,c_{p}}\bigl(\rho_{v,s}-\rho_{v,\infty}\bigr)\lambda.
  • Cancelando h (não precisamos do seu valor): T_{\infty}-T_{s}=\frac{\lambda}{\rho\,c_{p}}\bigl(\rho_{v,s}-\rho_{v,\infty}\bigr).
  • Como o ar está seco, \rho_{v,\infty}=0. Restando: T_{\infty}=T_{s}+\frac{\lambda}{\rho\,c_{p}}\rho_{v,s}.
  • Agora expressar \rho_{v,s} pela equação dos gases ideais para vapor saturado na superfície: \rho_{v,s}=\frac{P_{A}}{R_{v}\,T_{s}}.
  • A densidade do ar \rho (na região externa) pode ser obtida pela equação dos gases ideais usando a pressão atmosférica e T_{\infty}: \rho=\frac{P_{\text{atm}}}{R_{\text{air}}\,T_{\infty}}.
  • Substituindo \rho e \rho_{v,s} na expressão de T_{\infty}: T_{\infty}=T_{s}+\frac{\lambda}{\left(\dfrac{P_{\text{atm}}}{R_{\text{air}}\,T_{\infty}}\right)c_{p}}\cdot\frac{P_{A}}{R_{v}\,T_{s}}.
  • Reorganizando para isolar T_{\infty}: T_{\infty}\Bigg[1-\frac{\lambda\,R_{\text{air}}}{P_{\text{atm}}\,c_{p}}\cdot\frac{P_{A}}{R_{v}\,T_{s}}\Bigg]=T_{s}.Portanto, T_{\infty}=\frac{T_{s}}{1-\dfrac{\lambda\,R_{\text{air}}}{P_{\text{atm}}\,c_{p}}\cdot\dfrac{P_{A}}{R_{v}\,T_{s}}}.

Passo 4

Inserir números e calcular passo a passo (tudo em SI):
  • Valores numéricos: \lambda=2{,}45\times10^{6}\\ \text{J/kg},\quad R_{\text{air}}=287\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1},
P_{\text{atm}}=1{,}01325\times10^{5}\\ \text{Pa},\quad c_{p}=1005\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1},
P_{A}=2{,}34\times10^{3}\\ \text{Pa},\quad R_{v}=461{,}5\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}, \quad T_{s}=293\\ \text{K}.
  • Calcular o fator dentro dos colchetes: \alpha=\frac{\lambda\,R_{\text{air}}}{P_{\text{atm}}\,c_{p}}\cdot\frac{P_{A}}{R_{v}\,T_{s}}.Primeiro: \frac{\lambda\,R_{\text{air}}}{P_{\text{atm}}\,c_{p}} =\frac{2{,}45\times10^{6}\times287}{1{,}01325\times10^{5}\times1005} \approx6{,}90.Em seguida: \frac{P_{A}}{R_{v}\,T_{s}}=\frac{2{,}34\times10^{3}}{461{,}5\times293}\approx0{,}0173.Multiplicando: \alpha\approx6{,}90\times0{,}0173\approx0{,}1194.
  • Portanto T_{\infty}=\frac{293}{1-0{,}1194}=\frac{293}{0{,}8806}\approx332{,}8\\ \text{K}.
  • Em graus Celsius isso dá: 332{,}8\\ \text{K}-273{,}15\approx59{,}7\,^\circ\text{C}\approx60\,^\circ\text{C}.
Observações rápidas sobre a aproximação:
  • A aproximação k_{c}\approx h/(\rho c_{p}) (Lewis \approx1) é comum e razoável para ar seco com vapor de água; ela evita conhecer valores experimentais de h e k_{c}.
  • O resultado é sensível à pressão de vapor P_{A} e ao valor de \lambda. O orden de grandeza T_{\infty}\approx333\\ \text{K} (cerca de 60^\circ\text{C}) é plausível para um ambiente muito quente e árido.

Resposta

T_{\infty}\approx332{,}8\\ \text{K}\approx60\,^\circ\text{C}

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