Considerando-se um recipiente em que uma certa vazão mássica de uma solução aquosa (
) entra em um volume definido de solução contendo sal (S) no recipiente e a mesma quantidade deixa o tanque. Inicialmente, o volume contido no tanque possui uma concentração salina de
. O tanque é bem misturado por um agitador mecânico. Empregando-se balanços de massa, determine qual será a concentração de sal no regime permanente no tanque caso a vazão volumétrica de entrada seja
e o volume do tanque seja
. (R:
)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara dos dados e da pergunta):
- Concentração de sal na corrente de entrada:
. - Concentração inicial do tanque (no instante inicial):
. - Vazão volumétrica de entrada (igual à de saída):
. - Volume do tanque bem misturado:
. - O tanque é bem misturado e a mesma vazão sai do tanque (saída com concentração igual à do tanque).
- O enunciado pede: determinar a concentração de sal no regime permanente (estado estacionário) no tanque.
Passo 2
Vamos escrever o balanço de massa para o sal no tanque, de forma bem verbal antes de pôr a equação:
- “Acumulação” de massa de sal dentro do tanque = “entrada” de massa de sal pela corrente de entrada − “saída” de massa de sal pela corrente de saída + geração (ou consumo) dentro do tanque.
Neste problema não há reação química nem geração/consumo de sal, então a geração é zero.
Agora traduzo isso para uma equação matemática. Denotando por
a concentração de sal no tanque em função do tempo (unidade
), o balanço é:
A acumulação de massa de sal no tanque é o volume vezes a variação temporal da concentração:
O fluxo mássico de entrada é a vazão volumétrica vezes a concentração de entrada:
O fluxo mássico de saída é a vazão volumétrica vezes a concentração do efluente. Pelo pressuposto de tanque bem misturado, a concentração do efluente é igual à concentração do tanque naquele instante, ou seja
. Logo o fluxo de saída é
Portanto o balanço diferencial fica:
Passo 3
Agora eu explico cada termo da equação:
-
é o volume do tanque ( ). -
é a taxa de variação temporal da concentração no tanque. -
é a vazão volumétrica ( ). -
é a concentração no fluido que entra ( ). -
é a concentração instantânea no tanque (e na saída).
Para encontrar o regime permanente (estado estacionário) usamos a definição: no regime permanente a concentração não muda com o tempo, isto é
. Substituindo isto na equação do balanço:
onde
denota a concentração em regime permanente. Simplificando:
Como
, concluímos
Passo 4
Substituindo o valor dado para a concentração de entrada:
Comentário didático curto e motivador: isso significa que, independentemente da concentração inicial do tanque (
), num tanque bem misturado com vazão igual de entrada e saída o estado estacionário tem a concentração igual à da corrente de entrada. Se quiser entender como o sistema vai do valor inicial até esse valor, podemos resolver a ODE e obter uma decaída exponencial com constante de tempo
. Aqui
, então em alguns múltiplos de
a concentração estará muito próxima de
.