Considerando-se um recipiente em que uma certa vazão mássica de uma solução aquosa ( C_{S, e}=1,0 \mathrm{~g} / L ) entra em um volume definido de solução contendo sal (S) no recipiente e a mesma quantidade deixa o tanque. Inicialmente, o volume contido no tanque possui uma concentração salina de 5 g / L. O tanque é bem misturado por um agitador mecânico. Empregando-se balanços de massa, determine qual será a concentração de sal no regime permanente no tanque caso a vazão volumétrica de entrada seja 10 L / s e o volume do tanque seja 100 L. (R: \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{S}, \boldsymbol{S}}=\mathbf{1 g} / \boldsymbol{L} )

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara dos dados e da pergunta):
  • Concentração de sal na corrente de entrada: C_{S,e}=1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Concentração inicial do tanque (no instante inicial): C_{S}(0)=5,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
  • Vazão volumétrica de entrada (igual à de saída): Q=10\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.
  • Volume do tanque bem misturado: V=100\\ \mathrm{L}.
  • O tanque é bem misturado e a mesma vazão sai do tanque (saída com concentração igual à do tanque).
  • O enunciado pede: determinar a concentração de sal no regime permanente (estado estacionário) no tanque.

Passo 2

Vamos escrever o balanço de massa para o sal no tanque, de forma bem verbal antes de pôr a equação:
  • “Acumulação” de massa de sal dentro do tanque = “entrada” de massa de sal pela corrente de entrada − “saída” de massa de sal pela corrente de saída + geração (ou consumo) dentro do tanque.
    Neste problema não há reação química nem geração/consumo de sal, então a geração é zero.
Agora traduzo isso para uma equação matemática. Denotando por C(t) a concentração de sal no tanque em função do tempo (unidade \mathrm{g}/\mathrm{L}), o balanço é:
\text{acumulação} = \text{fluxo mássico de entrada} - \text{fluxo mássico de saída}.çãááí
A acumulação de massa de sal no tanque é o volume vezes a variação temporal da concentração:
V\,\frac{dC}{dt}.
O fluxo mássico de entrada é a vazão volumétrica vezes a concentração de entrada:
Q\,C_{S,e}.
O fluxo mássico de saída é a vazão volumétrica vezes a concentração do efluente. Pelo pressuposto de tanque bem misturado, a concentração do efluente é igual à concentração do tanque naquele instante, ou seja C(t). Logo o fluxo de saída é
Q\,C(t).
Portanto o balanço diferencial fica:
V\,\frac{dC}{dt}=Q\,C_{S,e}-Q\,C(t).

Passo 3

Agora eu explico cada termo da equação:
  • V é o volume do tanque ( 100\\ \mathrm{L}).
  • \dfrac{dC}{dt} é a taxa de variação temporal da concentração no tanque.
  • Q é a vazão volumétrica ( 10\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}).
  • C_{S,e} é a concentração no fluido que entra ( 1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}).
  • C(t) é a concentração instantânea no tanque (e na saída).
Para encontrar o regime permanente (estado estacionário) usamos a definição: no regime permanente a concentração não muda com o tempo, isto é \dfrac{dC}{dt}=0. Substituindo isto na equação do balanço:
V\cdot 0 = Q\,C_{S,e} - Q\,C_{\text{ss}},
onde C_{\text{ss}} denota a concentração em regime permanente. Simplificando:
0 = Q\,(C_{S,e} - C_{\text{ss}}).
Como Q\neq 0, concluímos
C_{\text{ss}} = C_{S,e}.

Passo 4

Substituindo o valor dado para a concentração de entrada:
C_{\text{ss}} = C_{S,e} = 1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
Comentário didático curto e motivador: isso significa que, independentemente da concentração inicial do tanque ( 5,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}), num tanque bem misturado com vazão igual de entrada e saída o estado estacionário tem a concentração igual à da corrente de entrada. Se quiser entender como o sistema vai do valor inicial até esse valor, podemos resolver a ODE e obter uma decaída exponencial com constante de tempo \tau=V/Q. Aqui \tau=100/10=10\\ \mathrm{s}, então em alguns múltiplos de 10\\ \mathrm{s} a concentração estará muito próxima de 1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.

Resposta

\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{S},\boldsymbol{S}}=1,0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}

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