1.30 Uma placa delgada está exposta a um fluxo de radiaçio infravermelha de 1.500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} sobre uma das suas faces, enquanto a outra face está isolada. A face exposta absorve 90 \% do fluxo de radiaçäo incidente e dissipa-o por conveção e radiaçáo para o ar ambiente a 290 K . Se o coeficiente de transferência de calor por convecçio entre a superfície e o ar ambiente for 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, \mathrm{C} ), determine a temperatura da placa. Considere a emissividade da placa como \varepsilon=0,9.

Passo 1

O enunciado trata de uma placa delgada cuja face exposta recebe um fluxo de radiação infravermelha de 1{,}500\\ \mathrm{W/m^{2}} e absorve 90\% desse fluxo, enquanto a outra face está isolada. Em regime permanente, toda a potência absorvida deve ser dissipada por convecção e radiação para o ar ambiente a 290\\ \mathrm{K}. Vamos aplicar o balanço de energia e usar os conceitos de transferência convectiva (coeficiente h) e radiação (Lei de Stefan–Boltzmann com emissividade \varepsilon).

Passo 2

A potência por unidade de área efetivamente absorvida pela placa é
q_{\text{in}} = 0{,}90 \times 1{,}500 = 1{,}350\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 3

No balanço de energia em regime permanente vale
q_{\text{in}} = q_{\text{conv}} + q_{\text{rad}},
com
q_{\text{conv}} = h\,(T_s - T_\infty), \qquad q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr),
onde h = 15\\ \mathrm{W/m^{2}K}, \varepsilon = 0{,}9, \sigma = 5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^{2}K^{4}} e T_\infty=290\\ \mathrm{K}. Logo a equação a resolver é
1{,}350 = 15\,(T_s - 290) + 0{,}9\cdot 5{,}67\times10^{-8}\,\bigl(T_s^4 - 290^4\bigr).

Passo 4

Resolvemos numericamente por tentativas e interpolação:
  • Para T_s=350\\ \mathrm{K}:
    q_{\text{conv}}=15\,(350-290)=900,
    q_{\text{rad}}=0{,}9\cdot5{,}67\times10^{-8}(350^4-290^4)\approx405,
    soma =1{,}305\\ \mathrm{W/m^2} ( abaixo de 1 350).
  • Para T_s=355\\ \mathrm{K}:
    q_{\text{conv}}=15\,(355-290)=975,
    q_{\text{rad}}\approx450,
    soma =1{,}425\\ \mathrm{W/m^2} (acima de 1 350).
Interpolando linearmente entre estes pontos para atingir 1{,}350, obtemos
T_s \approx 351{,}9\\ \mathrm{K}.

Resposta

A temperatura de superfície da placa é aproximadamente T_s=351{,}9\\ \mathrm{K} (ou 78{,}7\\ ^\circ\mathrm{C}).

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