A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A-36. Se ela for submetida a uma força axial de 30kip, determine a tensão normal média no concreto e em cada haste. Cada uma tem diâmetro de 0,75 \mathrm{in}.
E_{\text {conc }}=4,2\left(10^{3}\right) k s i e E_{\text {aco }}=29\left(10^{3}\right) k s i

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
Dados fornecidos:
P = 30\\ \text{kips}
\text{número de hastes} = 6ú
\text{diâmetro de cada haste } d = 0{,}75\\ \mathrm{in}â
E_{\text{conc}} = 4{,}2\,(10^{3})\\ \text{ksi}
E_{\text{aco}} = 29\,(10^{3})\\ \text{ksi}
O que pedem:
  • Determinar a tensão normal média no concreto ( \sigma_{\text{conc}}).
  • Determinar a tensão normal média em cada haste de aço ( \sigma_{\text{haste}}).
Observação importante (já identificada aqui): o enunciado não fornece a área da seção transversal do concreto, A_{\text{conc}} (a área do concreto que carrega axialmente, excluindo as hastes). Essa área é necessária para obter valores numéricos absolutos das tensões. Portanto, não é possível dar um número final para \sigma_{\text{conc}} e \sigma_{\text{haste}} sem A_{\text{conc}}.
Vou, então, calcular tudo o que é possível (área das hastes, razão modular, etc.), deduzir fórmulas gerais que mostram como obter as tensões a partir de A_{\text{conc}} e dar um exemplo numérico ilustrativo para você ver como aplicar.

Passo 2

Calcular a área de uma haste (fórmula e explicação).
Fórmula da área de um círculo: \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}. Aqui d é o diâmetro da haste e A é a área transversal da haste.
Aplicando com d=0{,}75\\ \mathrm{in}:
A_{\text{haste}}=\frac{\pi (0{,}75)^{2}}{4}=\pi\left(\frac{0{,}75}{2}\right)^{2}=\pi(0{,}375)^{2}.
Agora calculamos numericamente:
A_{\text{haste}}=\pi\cdot0{,}140625\approx0{,}441786\\ \mathrm{in}^{2}.
Explicação simples: aqui usamos a fórmula do círculo e apenas substituímos o diâmetro; é uma conta direta — dá para fazer na prova com uma calculadora básica (ou memorizando que \pi\cdot0{,}140625\approx0{,}4418).

Passo 3

Calcular a área total do aço (seis hastes).
Multiplicamos a área de uma haste pelo número de hastes:
A_{s}=6\cdot A_{\text{haste}}=6\cdot0{,}441786\approx2{,}65072\\ \mathrm{in}^{2}.
Isso é a área total de aço que participa do carregamento axial.

Passo 4

Explicar o comportamento conjunto concreto+aço sob carga axial e deduzir a relação entre tensões. (Aula curta e didática)
  • Se as hastes estão perfeitamente aderidas ao concreto, quando aplicamos uma força axial a toda a seção composta, a deformação axial (a mesma alongamento relativo) é igual no concreto e no aço naquele corte transversal: \varepsilon_{\text{conc}}=\varepsilon_{\text{aco}}=\varepsilon. Isso é compatibilidade de deformação.
  • Pela lei de Hooke (na zona elástica): \sigma=E\varepsilon. Assim,
    \sigma_{\text{conc}}=E_{\text{conc}}\varepsilon,\qquad \sigma_{\text{aco}}=E_{\text{aco}}\varepsilon.
  • Definimos a razão modular (razão entre módulos de elasticidade):
    n=\frac{E_{\text{aco}}}{E_{\text{conc}}}.
    Isso significa \sigma_{\text{aco}}=n\,\sigma_{\text{conc}}, porque \sigma_{\text{aco}}=E_{\text{aco}}\varepsilon e \sigma_{\text{conc}}=E_{\text{conc}}\varepsilon.
  • Equilíbrio de forças (somatório das forças internas = força externa axial):
    P = \sigma_{\text{conc}}A_{\text{conc}}+\sigma_{\text{aco}}A_{s}.
    Substituindo \sigma_{\text{aco}}=n\,\sigma_{\text{conc}} obtemos:
    P=\sigma_{\text{conc}}\bigl(A_{\text{conc}}+nA_{s}\bigr).
    Portanto a tensão média no concreto é
    \boxed{\displaystyle \sigma_{\text{conc}}=\frac{P}{A_{\text{conc}}+nA_{s}}.}
    E a tensão média no aço (cada haste tem a mesma tensão média) é
    \boxed{\displaystyle \sigma_{\text{haste}}=\sigma_{\text{aco}}=n\,\sigma_{\text{conc}} =\frac{nP}{A_{\text{conc}}+nA_{s}}.}
Essa dedução é a informação chave: com ela, bastaria conhecer A_{\text{conc}} para obter números.

Passo 5

Calcular numericamente a razão modular n com os E dados.
Dados:
E_{\text{conc}}=4{,}2\,(10^{3})\\ \text{ksi}=4200\\ \text{ksi}, \qquad E_{\text{aco}}=29\,(10^{3})\\ \text{ksi}=29000\\ \text{ksi}.
Logo
n=\frac{E_{\text{aco}}}{E_{\text{conc}}}=\frac{29000}{4200}\approx6{,}904762.

Passo 6

Substituir A_{s} e n nas fórmulas e escrever as expressões finais que você usará na prova. (Estas dão as tensões em \mathrm{ksi} quando P está em \mathrm{kips} e as áreas em \mathrm{in}^{2}.)
Calculamos já A_{s}\approx2{,}65072\\ \mathrm{in}^{2} e n\approx6{,}904762. Então:
nA_{s}\approx6{,}904762\cdot2{,}65072\approx18{,}31245\\ \mathrm{in}^{2}.
As fórmulas numéricas prontas para uso são:
\boxed{\displaystyle \sigma_{\text{conc}}=\frac{30}{A_{\text{conc}}+18{,}31245}\\ \text{ksi}}
e
\boxed{\displaystyle \sigma_{\text{haste}}=\frac{6{,}904762\cdot30}{A_{\text{conc}}+18{,}31245} =\frac{207{,}14286}{A_{\text{conc}}+18{,}31245}\\ \text{ksi}.}
Observação prática: em uma prova você pode deixar a resposta em função de A_{\text{conc}} se a área do concreto não for dada; se A_{\text{conc}} for dada, é só substituir e calcular.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (isso ajuda a entender e a checar calculadora): suponha que a área de concreto fosse, por exemplo, A_{\text{conc}}=100\\ \mathrm{in}^{2}. Então
\sigma_{\text{conc}}=\frac{30}{100+18{,}31245}=\frac{30}{118{,}31245}\approx0{,}2536\\ \text{ksi}=253{,}6\\ \text{psi},
\sigma_{\text{haste}}=6{,}904762\cdot0{,}2536\approx1{,}751\\ \text{ksi}=1751\\ \text{psi}.
Isto mostra como as tensões ficam muito menores no concreto (em ksi) quando a área de concreto é grande; o exemplo é só para prática — na sua questão específica use o valor real de A_{\text{conc}} se estiver disponível.

Resposta

A_{\text{haste}}=0{,}441786\\ \mathrm{in}^{2}
\displaystyle \sigma_{\text{conc}}=\frac{30}{A_{\text{conc}}+18{,}31245}\\ \mathrm{ksi}
\displaystyle \sigma_{\text{haste}}=\frac{207{,}14286}{A_{\text{conc}}+18{,}31245}\\ \mathrm{ksi}

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