A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A-36. Se ela for submetida a uma força axial de 30kip, determine a tensão normal média no concreto e em cada haste. Cada uma tem diâmetro de
.
e
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
Dados fornecidos:
O que pedem:
- Determinar a tensão normal média no concreto (
). - Determinar a tensão normal média em cada haste de aço (
).
Observação importante (já identificada aqui): o enunciado não fornece a área da seção transversal do concreto,
(a área do concreto que carrega axialmente, excluindo as hastes). Essa área é necessária para obter valores numéricos absolutos das tensões. Portanto, não é possível dar um número final para
e
sem
.
Vou, então, calcular tudo o que é possível (área das hastes, razão modular, etc.), deduzir fórmulas gerais que mostram como obter as tensões a partir de e dar um exemplo numérico ilustrativo para você ver como aplicar.
Vou, então, calcular tudo o que é possível (área das hastes, razão modular, etc.), deduzir fórmulas gerais que mostram como obter as tensões a partir de
Passo 2
Calcular a área de uma haste (fórmula e explicação).
Fórmula da área de um círculo: . Aqui
é o diâmetro da haste e
é a área transversal da haste.
Fórmula da área de um círculo:
Aplicando com
:
Agora calculamos numericamente:
Explicação simples: aqui usamos a fórmula do círculo e apenas substituímos o diâmetro; é uma conta direta — dá para fazer na prova com uma calculadora básica (ou memorizando que
).
Passo 3
Calcular a área total do aço (seis hastes).
Multiplicamos a área de uma haste pelo número de hastes:
Multiplicamos a área de uma haste pelo número de hastes:
Isso é a área total de aço que participa do carregamento axial.
Passo 4
Explicar o comportamento conjunto concreto+aço sob carga axial e deduzir a relação entre tensões. (Aula curta e didática)
-
Se as hastes estão perfeitamente aderidas ao concreto, quando aplicamos uma força axial a toda a seção composta, a deformação axial (a mesma alongamento relativo) é igual no concreto e no aço naquele corte transversal:
. Isso é compatibilidade de deformação. -
Pela lei de Hooke (na zona elástica):
. Assim, -
Definimos a razão modular (razão entre módulos de elasticidade):Isso significa
, porque e . -
Equilíbrio de forças (somatório das forças internas = força externa axial):Substituindo
obtemos: Portanto a tensão média no concreto éE a tensão média no aço (cada haste tem a mesma tensão média) é
Essa dedução é a informação chave: com ela, bastaria conhecer
para obter números.
Passo 5
Calcular numericamente a razão modular
com os
dados.
Dados:
Dados:
Logo
Passo 6
Substituir
e
nas fórmulas e escrever as expressões finais que você usará na prova. (Estas dão as tensões em
quando
está em
e as áreas em
.)
Calculamos já
e
. Então:
As fórmulas numéricas prontas para uso são:
e
Observação prática: em uma prova você pode deixar a resposta em função de
se a área do concreto não for dada; se
for dada, é só substituir e calcular.
Passo 7
Exemplo ilustrativo (isso ajuda a entender e a checar calculadora): suponha que a área de concreto fosse, por exemplo,
. Então
Isto mostra como as tensões ficam muito menores no concreto (em ksi) quando a área de concreto é grande; o exemplo é só para prática — na sua questão específica use o valor real de
se estiver disponível.