3+2 x1+2 x-5+2 x7+2 x=1-4 x^2-27+16 x+4 x^2
[s=78]

Passo 1

A questão pede para encontrar os valores de x que satisfazem a equação fracionária
3+2x1+2x-5+2x7+2x=1-4x^2-27+16x+4x^2
O conteúdo envolve equações fracionárias: a gente vai precisar determinar o domínio (condições de existência) e depois eliminar denominadores para transformar em uma equação polinomial.

Passo 2

Primeiro, identificamos as condições de existência (os zeros dos denominadores) para não gerar soluções extraviadas:
1+2xneq0 implica xneq-tfrac12,
7+2xneq0 implica xneq-tfrac72,
e o denominador 7+16x+4x^2 também não pode ser zero. Calculando seu discriminante, vemos que suas raízes são exatamente -tfrac12 e -tfrac72, ou seja, o mesmo conjunto de proibições.

Passo 3

Em seguida, percebemos que o denominador comum pode ser fatorado como
7+16x+4x^2=(1+2x)(7+2x)
Isso vai facilitar ao multiplicar ambos os lados por (1+2x)(7+2x) e eliminar todas as frações.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação por (1+2x)(7+2x). No lado esquerdo, cada fração perde seu denominador e no direito também. Ficamos com
(3+2x)(7+2x)- (5+2x)(1+2x) = (1+2x)(7+2x) - (4x^2-2)

Passo 5

Hora de expandir tudo:
  • (3+2x)(7+2x)=21+20x+4x^2
  • (5+2x)(1+2x)=5+12x+4x^2
  • (1+2x)(7+2x)=7+16x+4x^2
    Substituindo, a equação vira
l(21+20x+4x^2r)-l(5+12x+4x^2r)=l(7+16x+4x^2r)-(4x^2-2)

Passo 6

Simplificando os dois lados:
Lado esquerdo: 21+20x+4x^2-5-12x-4x^2=16+8x.
Lado direito: 7+16x+4x^2-4x^2+2=9+16x.
Então a equação fica
16+8x = 9+16x
Subtraindo 8x e subtraindo 9: 16-9=16x-8x resulta em 7=8x.

Passo 7

Logo, isolando x, temos x=tfrac78. Aí só conferimos que 7/8 não está entre as proibições -1/2 e -7/2, então é solução válida.

Resposta

x=tfrac78

Exercícios relacionados