Analisar se as curvas parametrizadas indicadas são curvas regulares
sigma(t)=e^t cos (t) i+e^t sen(t) j+e^t k, t in R

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada sigma(t) = e^tcos(t),i + e^tsin(t),j + e^t,k, com tinR. O conteúdo estudado é regularidade de curvas, e vamos precisar calcular a derivada sigma'(t) e verificar se ela é nunca nula.

Passo 2

Para uma curva ser regular, precisa valer sigma'(t) neq 0 para todo t. Essa é a definição de regularidade: velocidade nunca zerada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada componente a componente. As derivadas são:
ddtl(e^tcos tr) = e^tcos t - e^tsin t = e^t(cos t - sin t),
ddtl(e^tsin tr) = e^tsin t + e^tcos t = e^t(sin t + cos t),
ddtl(e^tr) = e^t

Passo 4

Logo, em vetor,
$$\sigma’(t) = e^{t}(\cos t - \sin t),\vec{i} + e^{t}(\sin t + \cos t),\vec{j} + e^{t},\vec{k}.
$$

Passo 5

Como e^t>0 para todo t, só pode anular sigma'(t) se o vetor entre parênteses for o vetor nulo. Isso exigiria simultaneamente
cos t - sin t = 0,
sin t + cos t = 0,
e
$$
1 = 0,
$$

Passo 6

o que é impossível. Portanto nunca ocorre sigma'(t)=0.

Passo 7

Concluímos que sigma'(t)neq 0 para todo t, logo a curva é regular em R.

Resposta

A curva parametrizada é regular para todo tinR, pois sigma'(t)neq 0 em toda a reta real.

Exercícios relacionados