Analisar se as curvas parametrizadas indicadas são curvas regulares
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
, com
. O conteúdo estudado é regularidade de curvas, e vamos precisar calcular a derivada
e verificar se ela é nunca nula.
Passo 2
Para uma curva ser regular, precisa valer
para todo
. Essa é a definição de regularidade: velocidade nunca zerada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada componente a componente. As derivadas são:
Passo 4
Logo, em vetor,
$$\sigma’(t) = e^{t}(\cos t - \sin t),\vec{i} + e^{t}(\sin t + \cos t),\vec{j} + e^{t},\vec{k}.
$$
Passo 5
Como
para todo
, só pode anular
se o vetor entre parênteses for o vetor nulo. Isso exigiria simultaneamente
e
$$
1 = 0,
$$
Passo 6
o que é impossível. Portanto nunca ocorre
.
Passo 7
Concluímos que
para todo
, logo a curva é regular em
.
Resposta
A curva parametrizada é regular para todo
, pois
em toda a reta real.