33-34 Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a , b , c c.
33. a=lang<= 6,3,-1rang<=, b=lang<= 0,1,2rang<=, c=lang<= 4,-2,5rang<=
34. a=i+j-k, b=i-j+k, c=-i+j+k
35-36 Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q, P R e PS.
35. P(-2,1,0), Q(2,3,2), R(1,4,-1), S(3,6,1)
36. P(3,0,1), Q(-1,2,5), R(5,1,-1), S(0,4,2)

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado por três vetores. Sabendo que o volume é o valor absoluto do produto misto desses vetores, vamos usar a fórmula
V = l|det ax & ay & az bx & by & bz cx & cy & cz r|
para cada tripla de vetores.

Passo 2

Para o item 33, temos a=lang<=6,3,-1rang<=, b=lang<=0,1,2rang<=, c=lang<=4,-2,5rang<=. Montamos a matriz e calculamos o determinante:
det 6 & 3 & -1 0 & 1 & 2 4 & -2 & 5 =6,(1cdot5-2cdot(-2)) -3,(0cdot5-2cdot4) +(-1),(0cdot(-2)-1cdot4) =6cdot9-3cdot(-8)+(-1)cdot(-4) =54+24+4=82
Logo V33=|82|=82.

Passo 3

Para o item 34, temos a=lang<=1,1,-1rang<=, b=lang<=1,-1,1rang<=, c=lang<=-1,1,1rang<=. O determinante é
det 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 =1l((-1)cdot1-1cdot1r) -1l(1cdot1-1cdot(-1)r) +(-1)l(1cdot1-(-1)cdot(-1)r) =-2-2+0=-4
Portanto V34=|-4|=4.

Passo 4

Para o item 35, primeiro obtemos os vetores adjacentes a P(-2,1,0):
PQ=lang<=2-(-2),3-1,2-0rang<==lang<=4,2,2rang<=, PR=lang<=1-(-2),4-1,-1-0rang<==lang<=3,3,-1rang<=, PS=lang<=3-(-2),6-1,1-0rang<==lang<=5,5,1rang<=
Calculamos
det 4 & 2 & 2 3 & 3 & -1 5 & 5 & 1 =4,(3cdot1-(-1)cdot5) -2,(3cdot1-(-1)cdot5) +2,(3cdot5-3cdot5) =4cdot8-2cdot8+2cdot0=16
Logo V35=|16|=16.

Passo 5

Para o item 36, com P(3,0,1):
PQ=lang<=-1-3,2-0,5-1rang<==lang<=-4,2,4rang<=, PR=lang<=5-3,1-0,-1-1rang<==lang<=2,1,-2rang<=, PS=lang<=0-3,4-0,2-1rang<==lang<=-3,4,1rang<=
O determinante é
det -4 & 2 & 4 2 & 1 & -2 -3 & 4 & 1 =-4,(1cdot1-(-2)cdot4) -2,(2cdot1-(-2)cdot(-3)) +4,(2cdot4-1cdot(-3)) =-4cdot9-2cdot(-4)+4cdot11=16
Assim V36=|16|=16.

Resposta

  1. 82
  2. 4
  3. 16
  4. 16

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