Definindo,
|mid: Z & N a & squigarrow|a|=lll a & se & a >= 0 -a & se & a <= 0
Prove que:
|a-b| >=||a|-|b|| forall a, b in Z

Passo 1

O enunciado define a função valor absoluto em Z e pede para provar a desigualdade triangular reversa
|a - b| >= l||a| - |b|r|
para quaisquer a,binZ. Para isso, vamos usar a desigualdade triangular clássica e depois manipular as inequações.

Passo 2

Lembrando a desigualdade triangular para quaisquer x,yinZ:
|x+y|<=|x|+|y|
Escolhendo x = a - b e y = b, obtemos
|a| = |(a - b) + b| <= |a - b| + |b|
Reescrevendo, isolamos
|a| - |b| <= |a - b|

Passo 3

Agora trocamos os papéis de a e b. Aplicando a desigualdade triangular a x = b - a e y = a
|b| = |(b - a) + a| <= |b - a| + |a| = |a - b| + |a|,
logo
|b| - |a| <= |a - b|

Passo 4

Temos duas inequações simultâneas:
|a| - |b| <= |a - b| e |b| - |a| <= |a - b|
Isto significa exatamente que o valor absoluto da diferença |a| - |b| não pode ultrapassar |a - b|. Em outras palavras,
l||a| - |b|r| <= |a - b|

Resposta

|a - b| >= l||a| - |b|r|

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