Definindo,
Prove que:
|a-b| >=||a|-|b|| forall a, b in Z
Passo 1
O enunciado define a função valor absoluto em
Z e pede para provar a desigualdade triangular reversa
para quaisquer
a,binZ . Para isso, vamos usar a desigualdade triangular clássica e depois manipular as inequações.
Passo 2
Lembrando a desigualdade triangular para quaisquer
x,yinZ :
Escolhendo
x = a - b e
y = b , obtemos
Reescrevendo, isolamos
Passo 3
Agora trocamos os papéis de
a e
b . Aplicando a desigualdade triangular a
x = b - a e
y = a dá
logo
Passo 4
Temos duas inequações simultâneas:
Isto significa exatamente que o valor absoluto da diferença
|a| - |b| não pode ultrapassar
|a - b| . Em outras palavras,