33-44
(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
38. h(x)=x^{5}-2 x^{3}+x

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=x^{5}-2x^{3}+x e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar os intervalos em que h é crescente ou decrescente.
  2. (b) Determinar os valores das extremidades locais (máximos e mínimos locais).
Informações relevantes que já temos: a expressão explícita de h(x). A resolução vai passar por achar a derivada, encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e usar o sinal da derivada para classificar crescimento/decrescimento e extremos locais.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a derivada h'(x). Lembra: a derivada de x^{n} é n x^{n-1} (regra do poder) e a derivada é linear (a derivada da soma é a soma das derivadas). Então:
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)-2\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr).
Aplicando as regras:
h'(x)=5x^{4}-2\cdot 3x^{2}+1 = 5x^{4}-6x^{2}+1.

Passo 3

Para achar pontos críticos resolvemos h'(x)=0:
5x^{4}-6x^{2}+1=0.
É comum fazer a substituição u=x^{2} (isso simplifica porque a derivada depende só de x^{2}):
5u^{2}-6u+1=0,\qquad\text{com }u\ge 0.
Isso é uma equação quadrática em u. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot 5\cdot 1 = 36-20=16.
As raízes são
u=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2\cdot 5}=\frac{6\pm 4}{10}.
Logo
u_{1}=\frac{6-4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5},\qquad u_{2}=\frac{6+4}{10}=\frac{10}{10}=1.
Voltando a x com u=x^{2}, obtemos
x^{2}=\frac{1}{5}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{1}{5}}=\pm\frac{1}{\sqrt{5}},
x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Portanto os pontos críticos são
x=-1,\;-\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}},\;1.

Passo 4

Para facilitar o estudo do sinal, fatoramos h'(x) usando u=x^{2}:
h'(x)=5(x^{2}-1)(x^{2}-\tfrac{1}{5}).
Escrevendo completamente em fatores lineares:
h'(x)=5(x-1)(x+1)\Bigl(x-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr)\Bigl(x+\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr).
Isso mostra claramente os zeros e o comportamento do sinal por intervalos.

Passo 5

Ordenando os pontos críticos na reta real:
-\infty,\\\ -1,\\\ -\frac{1}{\sqrt{5}}\approx -0{,}4472,\\ \frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0{,}4472,\\\ 1,\\ \infty.
Vamos analisar o sinal de h'(x) em cada intervalo entre esses pontos. A análise será feita observando o sinal de cada fator em \;5(x-1)(x+1)\bigl(x-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr)\bigl(x+\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr).

Passo 6

Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e avaliamos apenas o sinal (não é preciso calcular valores numéricos exatos).
  1. Intervalo \left(1,\infty\right). Teste x=2:
    • x-1>0,\;x+1>0,\;x-\tfrac{1}{\sqrt{5}}>0,\;x+\tfrac{1}{\sqrt{5}}>0.
    • Produto dos fatores >0. Logo h'(x)>0 em \left(1,\infty\right).
  2. Intervalo \left(\tfrac{1}{\sqrt{5}},1\right). Teste x=0{,}6 (pois 0{,}6\approx 0{,}6>0{,}4472 e <1):
    • x-1<0,\;x+1>0,\;x-\tfrac{1}{\sqrt{5}}>0,\;x+\tfrac{1}{\sqrt{5}}>0.
    • Produto tem exatamente um fator negativo \Rightarrow produto <0. Logo h'(x)<0 em \left(\tfrac{1}{\sqrt{5}},1\right).
  3. Intervalo \left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right). Teste x=0:
    • x-1<0,\;x+1>0,\;x-\tfrac{1}{\sqrt{5}}<0,\;x+\tfrac{1}{\sqrt{5}}>0.
    • Dois fatores negativos \Rightarrow produto >0. Logo h'(x)>0 em \left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right).
  4. Intervalo \left(-1,-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right). Teste x=-0{,}6:
    • x-1<0,\;x+1<0,\;x-\tfrac{1}{\sqrt{5}}<0,\;x+\tfrac{1}{\sqrt{5}}<0.
    • Quatro fatores negativos \Rightarrow produto >0 ou cuidado? Vamos contar: x-1 negativo (1), x+1 negativo (2), x-\tfrac{1}{\sqrt{5}} negativo (3), x+\tfrac{1}{\sqrt{5}} positivo ou negativo? Com x=-0{,}6 e -\tfrac{1}{\sqrt{5}}\approx -0{,}4472, temos x+\tfrac{1}{\sqrt{5}}=-0{,}6+0{,}4472<0. Então são 4 fatores negativos: produto de quatro negativos é positivo. Multiplicando pelo 5>0 h'(x)>0. Mas atenção: revemos o sinal esperado — precisamos verificar consistência com cálculo direto do termo x^{2}: para x=-0{,}6,\;x^{2}=0{,}36 que está entre 0{,}2 e 1, então x^{2}-1<0 e x^{2}-\tfrac{1}{5}>0 ? Espera, aqui convém ser cuidadoso: é melhor usar a forma 5(x^{2}-1)(x^{2}-\tfrac{1}{5}) para evitar confusão com sinais dos fatores lineares quando x é negativo.
    • Com x=-0{,}6, x^{2}=0{,}36. Então x^{2}-1<0 e x^{2}-\tfrac{1}{5}=0{,}36-0{,}2=0{,}16>0. Produto (x^{2}-1)(x^{2}-\tfrac{1}{5})<0. Multiplicando por 5>0 h'(x)<0.
    • Conclusão correta: em \left(-1,-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right) temos h'(x)<0.
(Nota: o passo anterior mostrou a armadilha de contar sinais dos fatores lineares quando alguns fatores mudam de sinal por causa de x negativo — usar x^{2}-fatores é mais direto.)
  1. Intervalo \left(-\infty,-1\right). Teste x=-2:
    • x^{2}=4 então x^{2}-1>0,\;x^{2}-\tfrac{1}{5}>0.
    • Produto positivo \Rightarrow h'(x)>0 em \left(-\infty,-1\right).
Resumindo os sinais (forma consistente usando x^{2}-fatores):
  • h'(x)>0 em \left(-\infty,-1\right).
  • h'(x)<0 em \left(-1,-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right).
  • h'(x)>0 em \left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right).
  • h'(x)<0 em \left(\tfrac{1}{\sqrt{5}},1\right).
  • h'(x)>0 em \left(1,\infty\right).

Passo 7

Com base no sinal da derivada, concluímos os intervalos de crescimento (onde h'(x)>0) e decrescimento (onde h'(x)<0):
  • Crescente em \left(-\infty,-1\right), \left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right) e \left(1,\infty\right).
  • Decrescente em \left(-1,-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right) e \left(\tfrac{1}{\sqrt{5}},1\right).
(Dica prática para prova: usar a forma fatorada 5(x^{2}-1)(x^{2}-\tfrac{1}{5}) muitas vezes é mais simples que expandir em fatores lineares quando há simetria par/ímpar.)

Passo 8

Agora classificamos cada ponto crítico pela mudança de sinal de h':
  • Em x=-1: h' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso é um máximo local em x=-1.
  • Em x=-\tfrac{1}{\sqrt{5}}: h' muda de negativo para positivo. Isso é um mínimo local em x=-\tfrac{1}{\sqrt{5}}.
  • Em x=\tfrac{1}{\sqrt{5}}: h' muda de positivo para negativo. Isso é um máximo local em x=\tfrac{1}{\sqrt{5}}.
  • Em x=1: h' muda de negativo para positivo. Isso é um mínimo local em x=1.

Passo 9

Calcular os valores de h nesses pontos (ou seja, as alturas dos extremos). Para simplificar usamos a identidade
h(x)=x^{5}-2x^{3}+x = x\bigl(x^{4}-2x^{2}+1\bigr)=x\bigl((x^{2})^{2}-2x^{2}+1\bigr).
Então, colocando u=x^{2}, temos h(x)=x(u^{2}-2u+1).
  1. Em x=1: \;h(1)=1^{5}-2\cdot 1^{3}+1=1-2+1=0.
  2. Em x=-1: \;h(-1)=(-1)^{5}-2(-1)^{3}+(-1)=-1+2-1=0.
  3. Em x=\tfrac{1}{\sqrt{5}}. Aqui u=x^{2}=\tfrac{1}{5}. Então
u^{2}-2u+1=\frac{1}{25}-2\cdot\frac{1}{5}+1=\frac{1-10+25}{25}=\frac{16}{25}.
Logo
h\!\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigr)=\tfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{16}{25}=\frac{16}{25\sqrt{5}}.
  1. Em x=-\tfrac{1}{\sqrt{5}} obtemos o negativo do anterior:
h\!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\Bigr)=-\frac{16}{25\sqrt{5}}.
Se quiser aproximar numericamente, note \sqrt{5}\approx 2{,}236 então \frac{16}{25\sqrt{5}}\approx 0{,}286 e o negativo correspondente \approx -0{,}286.

Passo 10

Resumo final sobre máximos e mínimos locais com coordenadas e valores:
  • Máximo local em x=-1 com valor h(-1)=0.
  • Mínimo local em x=-\tfrac{1}{\sqrt{5}} com valor h\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr)=-\dfrac{16}{25\sqrt{5}}.
  • Máximo local em x=\tfrac{1}{\sqrt{5}} com valor h\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr)=\dfrac{16}{25\sqrt{5}}.
  • Mínimo local em x=1 com valor h(1)=0.

Resposta

(a) Crescente em \left(-\infty,-1\right), \left(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right) e \left(1,\infty\right).
Decrescente em \left(-1,-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right) e \left(\tfrac{1}{\sqrt{5}},1\right).
(b) Máximos e mínimos locais:
Máximo local em x=-1 com h(-1)=0.
Mínimo local em x=-\tfrac{1}{\sqrt{5}} com h\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr)=-\dfrac{16}{25\sqrt{5}}.
Máximo local em x=\tfrac{1}{\sqrt{5}} com h\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\bigr)=\dfrac{16}{25\sqrt{5}}.
Mínimo local em x=1 com h(1)=0.

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