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(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
38.
(a) Find the intervals of increase or decrease.
(b) Find the local maximum and minimum values.
38.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar os intervalos em que
é crescente ou decrescente. - (b) Determinar os valores das extremidades locais (máximos e mínimos locais).
Informações relevantes que já temos: a expressão explícita de
. A resolução vai passar por achar a derivada, encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e usar o sinal da derivada para classificar crescimento/decrescimento e extremos locais.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular a derivada
. Lembra: a derivada de
é
(regra do poder) e a derivada é linear (a derivada da soma é a soma das derivadas). Então:
Aplicando as regras:
Passo 3
Para achar pontos críticos resolvemos
:
É comum fazer a substituição
(isso simplifica porque a derivada depende só de
):
Isso é uma equação quadrática em
. Calculamos o discriminante:
As raízes são
Logo
Voltando a
com
, obtemos
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Para facilitar o estudo do sinal, fatoramos
usando
:
Escrevendo completamente em fatores lineares:
Isso mostra claramente os zeros e o comportamento do sinal por intervalos.
Passo 5
Ordenando os pontos críticos na reta real:
Vamos analisar o sinal de
em cada intervalo entre esses pontos. A análise será feita observando o sinal de cada fator em
Passo 6
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e avaliamos apenas o sinal (não é preciso calcular valores numéricos exatos).
-
Intervalo
. Teste : -
. - Produto dos fatores
. Logo em .
-
-
Intervalo
. Teste (pois e ): -
. - Produto tem exatamente um fator negativo
produto . Logo em .
-
-
Intervalo
. Teste : -
. - Dois fatores negativos
produto . Logo em .
-
-
Intervalo
. Teste : -
. - Quatro fatores negativos
produto ou cuidado? Vamos contar: negativo (1), negativo (2), negativo (3), positivo ou negativo? Com e , temos . Então são 4 fatores negativos: produto de quatro negativos é positivo. Multiplicando pelo dá . Mas atenção: revemos o sinal esperado — precisamos verificar consistência com cálculo direto do termo : para que está entre e , então e ? Espera, aqui convém ser cuidadoso: é melhor usar a forma para evitar confusão com sinais dos fatores lineares quando é negativo. - Com
, . Então e . Produto . Multiplicando por dá . - Conclusão correta: em
temos .
-
(Nota: o passo anterior mostrou a armadilha de contar sinais dos fatores lineares quando alguns fatores mudam de sinal por causa de
negativo — usar
-fatores é mais direto.)
- Intervalo
. Teste : -
então . - Produto positivo
em .
-
Resumindo os sinais (forma consistente usando
-fatores):
-
em . -
em . -
em . -
em . -
em .
Passo 7
Com base no sinal da derivada, concluímos os intervalos de crescimento (onde
) e decrescimento (onde
):
- Crescente em
, e . - Decrescente em
e .
(Dica prática para prova: usar a forma fatorada
muitas vezes é mais simples que expandir em fatores lineares quando há simetria par/ímpar.)
Passo 8
Agora classificamos cada ponto crítico pela mudança de sinal de
:
- Em
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso é um máximo local em . - Em
: muda de negativo para positivo. Isso é um mínimo local em . - Em
: muda de positivo para negativo. Isso é um máximo local em . - Em
: muda de negativo para positivo. Isso é um mínimo local em .
Passo 9
Calcular os valores de
nesses pontos (ou seja, as alturas dos extremos). Para simplificar usamos a identidade
Então, colocando
, temos
.
-
Em
: -
Em
: -
Em
. Aqui . Então
Logo
- Em
obtemos o negativo do anterior:
Se quiser aproximar numericamente, note
então
e o negativo correspondente
.
Passo 10
Resumo final sobre máximos e mínimos locais com coordenadas e valores:
- Máximo local em
com valor . - Mínimo local em
com valor . - Máximo local em
com valor . - Mínimo local em
com valor .
Resposta
(a) Crescente em
,
e
.
Decrescente em e
.
Decrescente em
(b) Máximos e mínimos locais:
Máximo local em com
.
Mínimo local em com
.
Máximo local em com
.
Mínimo local em com
.
Máximo local em
Mínimo local em
Máximo local em
Mínimo local em