35 Seja v um vetor qualquer do V3(R) e seja tau(v) uma projeção ortogonal do vetor v sobre o plano cuja equação é x-2 y+2 z=0.
(a) Ache tau(x, y, z).
(b) Ache a matriz de tau relativa a base padrão do V3(R).
(c) Ache uma base e1, e2, e3 do V3(R) tal que e1 e e2 estejam no plano x-2 y+2 z=0 e e3 seja perpendicular a este plano.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal
taucolonR^3toR^3
sobre o plano de equação x-2y+2z=0.
Para isso vamos usar a fórmula de projeção em planos usando o vetor normal

Passo 2

O vetor normal ao plano é
n = (1,-2,2),
e a projeção ortogonal de v no plano é
tau(v)=v - vcdot nncdot n,n
Como v=(x,y,z), temos
vcdot n = x - 2y + 2z e
ncdot n = 1^2+(-2)^2+2^2 = 9

Passo 3

Substituindo na fórmula,
tau(x,y,z) = (x,y,z) - x-2y+2z9,(1,-2,2)
Distribuindo e reunindo termos, obtemos
tau(x,y,z) =l(8x+2y-2z9,,2x+5y+4z9,,-2x+4y+5z9r)

Passo 4

A matriz de tau na base padrão é
M = I - 19,n,n^T = 89 & 29 & -29[6pt] 29 & 59 & 49[6pt] -29 & 49 & 59 ]

Passo 5

Para achar uma base e1,e2,e3 com e1,e2 no plano e e3perp plano, note que
x-2y+2z=0
é satisfeita por, por exemplo,
;e1=(2,1,0) e e2=(-2,0,1).
O vetor normal e3=n=(1,-2,2) é perpendicular ao plano.

Resposta

(a) tau(x,y,z) = (x,y,z)-x-2y+2z9(1,-2,2) =l(tfrac8x+2y-2z9,tfrac2x+5y+4z9,tfrac-2x+4y+5z9r)
(b) 89 & 29 & -29 29 & 59 & 49 -29 & 49 & 59
(c) Uma base adequada é
(2,1,0),,(-2,0,1),,(1,-2,2)

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