35 Seja um vetor qualquer do e seja uma projeção ortogonal do vetor sobre o plano cuja equação é .
(a) Ache .
(b) Ache a matriz de relativa a base padrão do .
(c) Ache uma base do tal que e estejam no plano e seja perpendicular a este plano.
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal
sobre o plano de equação .
Para isso vamos usar a fórmula de projeção em planos usando o vetor normal
Passo 2
O vetor normal ao plano é
e a projeção ortogonal de no plano é
Como , temos e
Passo 3
Substituindo na fórmula,
Distribuindo e reunindo termos, obtemos
Passo 4
A matriz de na base padrão é
]
Passo 5
Para achar uma base e1,e2,e3 com e1,e2 no plano e e3perp plano, note que
x-2y+2z=0
é satisfeita por, por exemplo, ;e1=(2,1,0) e e2=(-2,0,1).
O vetor normal e3=n=(1,-2,2) é perpendicular ao plano.